Контрольная работа по теме «Многогранники» Вариант 1 1. Вычислите объём и площадь поверхности многогранника. 2. Найдите расстояние между вершинами А и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 4. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 5. Постройте сечение куба АВС ... Ді плоскостью, проходящей через Вершину Діи середины рёбер АВ и ВС.

Решаю задачи по геометрии. 1. Вычисление объема и площади поверхности многогранника. Для вычисления объема и площади поверхности многогранника, изображенного на рисунке, нужно рассмотреть его как составную фигуру, состоящую из двух параллелепипедов. Большой параллелепипед имеет размеры 7 x 5 x 2, а меньший, вырезанный из него, имеет размеры 2 x 1 x 1. * Объем большого параллелепипеда: $$V_1 = 7 \cdot 5 \cdot 2 = 70$$ * Объем малого параллелепипеда: $$V_2 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$$ * Объем многогранника: $$V = V_1 - V_2 = 70 - 2 = 68$$ Для вычисления площади поверхности, нужно учесть, что при вырезании малого параллелепипеда внутри большого, часть поверхности большого параллелепипеда удаляется, но добавляется поверхность малого параллелепипеда. * Площадь поверхности большого параллелепипеда: $$S_1 = 2 \cdot (7 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 5 \cdot 2) = 2 \cdot (35 + 14 + 10) = 2 \cdot 59 = 118$$ * Площадь поверхности малого параллелепипеда: $$S_2 = 2 \cdot (2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2 \cdot (2 + 2 + 1) = 2 \cdot 5 = 10$$ При вырезании малого параллелепипеда, площадь поверхности большого параллелепипеда уменьшается на площадь основания малого параллелепипеда (2 x 1) два раза, то есть на 4. Площадь поверхности малого параллелепипеда также нужно уменьшить на эту площадь, так как она находится внутри большого параллелепипеда. Таким образом, площадь поверхности многогранника будет: $$S = S_1 - 4 + S_2 - 4 = 118 - 4 + 10 - 4 = 120$$ Ответ: Объем многогранника равен 68, площадь поверхности равна 120. 2. Расстояние между вершинами A и C2. Для нахождения расстояния между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке, можно использовать теорему Пифагора в трехмерном пространстве. Координаты точек A и C2 можно определить из рисунка. Пусть A имеет координаты (0, 0, 0). Тогда C2 имеет координаты (7, 5, 2). Расстояние между A и C2 будет: $$d = \sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{7^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 25 + 4} = \sqrt{78}$$ Ответ: Расстояние между вершинами A и C2 равно $$\sqrt{78}$$. 3. Боковое ребро параллелепипеда. Пусть стороны основания параллелепипеда равны a = 3 см и b = 5 см, угол между ними равен $$\alpha = 60^\circ$$, а большая диагональ параллелепипеда равна d = 10 см. Обозначим боковое ребро параллелепипеда через h. Квадрат большой диагонали основания можно найти по теореме косинусов: $$d_{осн}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cdot cos(\alpha) = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(60^\circ)$$ $$d_{осн}^2 = 9 + 25 + 30 \cdot 0.5 = 34 + 15 = 49$$ $$d_{осн} = \sqrt{49} = 7$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром h, диагональю основания d_осн и большой диагональю параллелепипеда d. По теореме Пифагора: $$d^2 = d_{осн}^2 + h^2$$ $$10^2 = 7^2 + h^2$$ $$100 = 49 + h^2$$ $$h^2 = 100 - 49 = 51$$ $$h = \sqrt{51}$$ Ответ: Боковое ребро параллелепипеда равно $$\sqrt{51}$$ см. 4. Площадь боковой поверхности пирамиды. Дано: боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Пусть a - сторона основания пирамиды, h - высота пирамиды, l - апофема пирамиды (высота боковой грани), $$\alpha$$ - угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Обозначим половину диагонали основания как x. Тогда: $$cos(\alpha) = \frac{x}{12}$$ $$x = 12 \cdot cos(60^\circ) = 12 \cdot 0.5 = 6$$ Диагональ основания равна 2x = 12. Так как основание - квадрат, то сторона основания a равна: $$a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$ Теперь найдем апофему l. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания. Сначала найдем высоту пирамиды h: $$sin(\alpha) = \frac{h}{12}$$ $$h = 12 \cdot sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ Теперь найдем апофему l: $$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 3 + 9 \cdot 2 = 108 + 18 = 126$$ $$l = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$ Площадь боковой поверхности пирамиды равна: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 36 \sqrt{28} = 36 \cdot 2\sqrt{7} = 72\sqrt{7}$$ Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $$72\sqrt{7}$$ кв. см. 5. Построение сечения куба ABC...D1. Опишу построение сечения куба ABC...D1 плоскостью, проходящей через вершину D1 и середины рёбер AB и BC. Пусть M - середина AB, N - середина BC. 1. Отметьте точки M и N на рёбрах AB и BC соответственно. 2. Проведите прямую D1M. Эта прямая пересечёт плоскость грани AA1B1B в точке M1, лежащей на прямой AB. 3. Проведите прямую D1N. Эта прямая пересечёт плоскость грани BB1C1C в точке N1, лежащей на прямой BC. 4. Прямая MN лежит в плоскости сечения. Продолжите MN до пересечения с плоскостями граней куба. 5. Соедините точки пересечения прямых с вершинами куба, чтобы получить сечение. Сечение будет представлять собой пятиугольник, образованный точками D1, M, N и точками пересечения продолжений MN с рёбрами куба.