Контрольная работа по теме: «Неравенства». 1 вариант 1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой: a) 6x-4 > 4x + 3; б)-16-2(2x-1) ≥ 2. 2. Решите систему неравенств: { 2х-10 <7х + 5 9x-11 > 5x-3. 3. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x + 5)(x-9) ≥ 0; 6) x-4/x+8 <0. 4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) x²- 12x +20>0; 6) x²-8х + 20 > 0; в) х²-36 < 0. 5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством: a) y > 3x-2; 6) x² + y²<9

1. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

a) $$6x - 4 > 4x + 3$$

1. Перенесем члены с переменной в левую часть, а числа - в правую, изменив знаки при переносе: $$6x - 4x > 3 + 4$$.
2. Приведем подобные члены: $$2x > 7$$.
3. Разделим обе части неравенства на 2: $$x > \frac{7}{2}$$.
4. $$x > 3.5$$.

Изобразим решение на координатной прямой:

----(------]======================> 
x=3.5

Множество решений: $$(3.5;+\infty)$$.

Ответ: $$(3.5;+\infty)$$

б) $$-16 - 2(2x-1) \ge 2$$

1. Раскроем скобки: $$-16 - 4x + 2 \ge 2$$.
2. Приведем подобные члены: $$-14 - 4x \ge 2$$.
3. Перенесем число в правую часть, изменив знак: $$-4x \ge 2 + 14$$.
4. $$-4x \ge 16$$.
5. Разделим обе части на -4 (при этом знак неравенства меняется): $$x \le -4$$.

Изобразим решение на координатной прямой:

======================[------)---->
x=-4

Множество решений: $$(-\infty;-4]$$.

Ответ: $$(-\infty;-4]$$

2. Решите систему неравенств:

$$\begin{cases}2x - 10 < 7x + 5\\9x - 11 > 5x - 3\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство:

$$2x - 10 < 7x + 5$$

1. Перенесем члены с переменной в левую часть, а числа - в правую, изменив знаки при переносе: $$2x - 7x < 5 + 10$$.
2. Приведем подобные члены: $$-5x < 15$$.
3. Разделим обе части неравенства на -5 (при этом знак неравенства меняется): $$x > -3$$.

1. Решим второе неравенство:

$$9x - 11 > 5x - 3$$

1. Перенесем члены с переменной в левую часть, а числа - в правую, изменив знаки при переносе: $$9x - 5x > -3 + 11$$.
2. Приведем подобные члены: $$4x > 8$$.
3. Разделим обе части неравенства на 4: $$x > 2$$.

Таким образом, система неравенств имеет вид:

$$\begin{cases}x > -3\\x > 2\end{cases}$$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $$x > 2$$.

Ответ: $$(2;+\infty)$$

3. Решите неравенство методом интервалов:

a) $$(x+11)(x+5)(x-9) \ge 0$$

1. Найдем корни уравнения $$(x+11)(x+5)(x-9) = 0$$.
2. Корни: $$x_1 = -11$$, $$x_2 = -5$$, $$x_3 = 9$$.
3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+             -             +             -
<-----[---------]-----[---------]-----[--------->
    -11         -5          9

1. Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю: $$x \in [-11; -5] \cup [9; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in [-11; -5] \cup [9; +\infty)$$

б) $$\frac{x-4}{x+8} < 0$$

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
2. $$x - 4 = 0$$, $$x = 4$$.
3. $$x + 8 = 0$$, $$x = -8$$.
4. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

+           -           +
<-----(-------]-----(-------]----->
    -8          4

1. Выберем интервал, где выражение меньше нуля: $$x \in (-8; 4)$$.

Ответ: $$x \in (-8; 4)$$

4. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции:

a) $$x^2 - 12x + 20 > 0$$

1. Найдем корни уравнения $$x^2 - 12x + 20 = 0$$.
2. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 12$$, $$x_1 \cdot x_2 = 20$$.
3. $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 10$$.
4. Т.к. коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх.
5. Неравенство больше нуля там, где парабола выше оси Ox: $$x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; 2) \cup (10; +\infty)$$

б) $$x^2 - 8x + 20 > 0$$

1. Найдем корни уравнения $$x^2 - 8x + 20 = 0$$.
2. Дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$$.
3. Т.к. дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.
4. Т.к. коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх.
5. Парабола всегда выше оси Ox, следовательно, неравенство выполняется при всех $$x \in (-\infty; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$

в) $$x^2 - 36 < 0$$

1. Найдем корни уравнения $$x^2 - 36 = 0$$.
2. $$x^2 = 36$$.
3. $$x_1 = -6$$, $$x_2 = 6$$.
4. Т.к. коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх.
5. Неравенство меньше нуля там, где парабола ниже оси Ox: $$x \in (-6; 6)$$.

Ответ: $$x \in (-6; 6)$$

5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

a) $$y > 3x - 2$$

На координатной плоскости изображаем прямую $$y = 3x - 2$$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству, находится выше этой прямой.

Прямая изображается пунктирной линией, т.к. неравенство строгое.

б) $$x^2 + y^2 \le 9$$

На координатной плоскости изображаем окружность $$x^2 + y^2 = 9$$ радиуса 3 с центром в начале координат. Множество точек, удовлетворяющих неравенству, находится внутри этой окружности, включая саму окружность.