Контрольная работа по теме «Объёмы многогранников» Вариант 1 1. Основание прямой треугольной призмы – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 10 см. Высота призмы равна 8 см. Найдите объём призмы. 2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°. 3. Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 8 см, а высота 9 см.

Вариант 1

1. 1. Объём призмы

   
   

   Основание призмы – прямоугольный треугольник. Площадь основания \( S \) равна половине произведения катетов:

   
   

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 15 \text{ см}^2 \]

   
   

   Объём призмы \( V \) равен произведению площади основания на высоту:

   
   

   \[ V = S \cdot h = 15 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 120 \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 120 см³.

   
   



2. 2. Объём пирамиды

   
   

   Основание пирамиды – правильный четырёхугольник (квадрат).

   
   

   Пусть \( a \) – сторона основания, \( b \) – боковое ребро, \( h \) – высота пирамиды, \( α \) – угол между боковым ребром и плоскостью основания.

   
   

   Из условия имеем: \( b = 12 \) см, \( α = 45^\circ \).

   
   

   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковым ребром и радиусом описанной окружности основания (или половиной диагонали), имеем:

   
   

   \[ 0 \text{cos}(45^\circ) = \frac{d/2}{b} \implies d/2 = b \cdot \cos(45^\circ) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

   
   

   \[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{b} \implies h = b \cdot \sin(45^\circ) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]

   
   

   Диагональ основания \( d = 2 0 \cdot 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \) см.

   
   

   Сторона основания \( a \) связана с диагональю \( d \) через теорему Пифагора: \( a^2 + a^2 = d^2 \) \( 0 \implies 2a^2 = (12\sqrt{2})^2 \) \( 0 \implies 2a^2 = 144 \cdot 2 \) \( 0 \implies a^2 = 144 \) \( 0 \implies a = 12 \) см.

   
   

   Площадь основания \( S = a^2 = 12^2 = 144 \) см².

   
   

   Объём пирамиды \( V \) равен:

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{2} \text{ см} = 48 \cdot 6\sqrt{2} \text{ см}^3 = 288\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 288√2 см³.

   
   



3. 3. Объём усечённой пирамиды

   
   

   Основания – правильные треугольники.

   
   

   Площадь большего основания \( S_1 \) (сторона \( a_1 = 8 \) см):

   
   

   \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

   
   

   Площадь меньшего основания \( S_2 \) (сторона \( a_2 = 6 \) см):

   
   

   \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (6 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \text{ см}^2 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

   
   

   Высота усечённой пирамиды \( h = 9 \) см.

   
   

   Объём усечённой пирамиды \( V \) равен:

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]

   
   

   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 9 \text{ см} (16\sqrt{3} \text{ см}^2 + 9\sqrt{3} \text{ см}^2 + \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 3 \text{ см} (25\sqrt{3} \text{ см}^2 + \sqrt{144 \cdot 3} \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 3 \text{ см} (25\sqrt{3} \text{ см}^2 + 12\sqrt{3} \text{ см}^2) \]

   
   

   \[ V = 3 \text{ см} (37\sqrt{3} \text{ см}^2) = 111\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

   
   

   Ответ: 111√3 см³.