Контрольная работа по теме "Окружность и круг. Геометрические построения" II вариант.

Контрольная работа по теме "Окружность и круг. Геометрические построения"

II вариант.

1. Задача: Окружности с радиусами 8см и 12 см касаются внутренним образом. Найти расстояние между их центрами.
   Решение: Когда окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности их радиусов. \( d = R - r \) Где \( R \) — радиус большей окружности, \( r \) — радиус меньшей окружности.
   \( d = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см} \)

   Ответ: 4 см.

2. Задача: Найдите градусную меру дуги, если окружность разделена на 12 равных частей.
   Решение: Полная окружность составляет \( 360^{\circ} \). Если окружность разделена на 12 равных частей, то градусная мера каждой части (дуги) равна: \( \frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ} \)

   Ответ: 30°.

3. Задача: К окружности с центром О проведена касательная АВ (А- точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ=10 см и ∠ABO=30°
   Решение: Так как АВ — касательная к окружности в точке А, то радиус ОА перпендикулярен касательной, то есть \( \angle OAB = 90^{\circ} \).
   В прямоугольном треугольнике ОАВ, катет ОА (радиус) лежит напротив угла \( \angle ABO \).
   Используем теорему синусов: \( \frac{OA}{\sin(\angle ABO)} = \frac{OB}{\sin(\angle OAB)} \)
   \( \frac{OA}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10 \text{ см}}{\sin(90^{\circ})} \)
   \( OA = \frac{10 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})} = \frac{10 \text{ см} \cdot 0.5}{1} = 5 \text{ см} \)

   Ответ: 5 см.

4. Задача: АС-касательная, а АВ- хорда окружности с центром в точке О, угол АОВ равен 70 градусов. Чему равен угол ВАС?
   Решение: Так как АС — касательная, то радиус ОА перпендикулярен касательной, \( \angle OAC = 90^{\circ} \).
   Треугольник АОВ — равнобедренный, так как ОА = ОВ (радиусы). Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).
   Угол ВАС равен разности \( \angle OAC \) и \( \angle OAB \):
   \( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \)

   Ответ: 35°.

5. Задача: АВ - диаметр окружности с центром в точке О, ВС - хорда. Известно, что угол АОС в 3 раза меньше, чем угол СОВ. Найдите углы АОС и СОВ.
   Решение: Так как АВ — диаметр, то \( \angle AOB \) — развёрнутый угол, равный \( 180^{\circ} \).
   Угол АОВ состоит из суммы углов АОС и СОВ: \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \).
   По условию \( \angle AOC = \frac{1}{3} \angle COB \), или \( \angle COB = 3 \angle AOC \).
   Подставляем во второе уравнение: \( \angle AOC + 3 \angle AOC = 180^{\circ} \)
   \( 4 \angle AOC = 180^{\circ} \)
   \( \angle AOC = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)
   Теперь найдём \( \angle COB \): \( \angle COB = 3 \cdot \angle AOC = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \).

   Ответ: ∠AOC = 45°, ∠COB = 135°.