Контрольная работа по теме «Окружность и круг» Вариант 1. 1. Начертите окружность с центром О, проведите диаметр DC, радиус ОТ, хорду РН, касательную СМ. 2. В окружности с центром О, проведен диаметр АВ и радиус ON, при этом хорда NB равна радиусу. Найдите ∠NOB. 3. В окружности с центром в точке О проведены два диаметра АВ, CD. Докажите, что ΔAOC = ΔDOB. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней. 5. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK. Докажите, что АК = ВК.

Решение:

Задание 2:

Дано: Окружность с центром О, диаметр АВ, радиус ON, хорда NB = ON (по условию).

Поскольку ON — радиус, то ON = OB (также радиус). Таким образом, треугольник ΔNOB является равносторонним (так как все его стороны равны радиусу).

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Следовательно, ∠NOB = 60°.

Задание 3:

Дано: Окружность с центром О, диаметры АВ и CD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔDOB.
2. AO = OC = OB = OD = R (радиусы окружности).
3. Углы ∠AOC и ∠DOB являются вертикальными, следовательно, ∠AOC = ∠DOB.
4. По двум сторонам и углу между ними (AO = DO, CO = BO, ∠AOC = ∠DOB), треугольники ΔAOC и ΔDOB равны (по первому признаку равенства треугольников).

Задание 5:

Дано: Окружность с центром О, диаметр DK, хорды КА и КВ, ∠OAK = ∠OBK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK.
2. OA = OB = OK = R (радиусы окружности).
3. Сторона OK является общей для обоих треугольников.
4. По условию, ∠OAK = ∠OBK.
5. Треугольники ΔOAK и ΔOBK являются равнобедренными, так как OA = OK и OB = OK.
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠OKA = ∠OAK и ∠OKB = ∠OBK.
7. Так как ∠OAK = ∠OBK (по условию), то ∠OKA = ∠OKB.
8. По двум углам и стороне между ними (∠OAK = ∠OBK, ∠OKA = ∠OKB, OK — общая сторона), треугольники ΔOAK и ΔOBK равны (по второму признаку равенства треугольников).
9. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: АК = ВК.

Ответ:

2. ∠NOB = 60°

3. ΔAOC = ΔDOB по первому признаку равенства треугольников.

5. АК = ВК, так как треугольники ΔOAK и ΔOBK равны.