Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа по теме: «Окружность» Вариант 1. 1. Центральный угол ВОС равен 40°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке В. Радиус окружности 9 см, а центр О, АО=41 см. Найти АВ. 3. В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АВ=0,7 см, ВЕ=0,5 см, СЕ=0,4 см. Найти ДЕ, ДС. 4. Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга ВС=100°, дуга СД-60°. 5.В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Ответ:
Контрольная работа по теме: «Окружность»
Вариант 1
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, вписанный угол равен \( 40° / 2 = 20° \).
Ответ: 20°
Так как прямая АВ касается окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Треугольник ОВА — прямоугольный с катетом ОВ = 9 см и гипотенузой ОА = 41 см. По теореме Пифагора:
\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]
\[ 41^2 = 9^2 + AB^2 \]
\[ 1681 = 81 + AB^2 \]
\[ AB^2 = 1681 - 81 = 1600 \]
\[ AB = \sqrt{1600} = 40 \text{ см} \]
Ответ: 40 см
По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \).
Из условия известно, что \( AB = 0.7 \text{ см} \) и \( BE = 0.5 \text{ см} \). Тогда \( AE = AB - BE = 0.7 - 0.5 = 0.2 \text{ см} \).
Теперь найдём \( ED \):
\[ 0.2 \text{ см} \cdot 0.5 \text{ см} = 0.4 \text{ см} \cdot ED \]
\[ 0.1 = 0.4 \cdot ED \]
\[ ED = \frac{0.1}{0.4} = 0.25 \text{ см} \]
Длина хорды \( CD = CE + ED = 0.4 + 0.25 = 0.65 \text{ см} \).
Ответ: ДЕ = 0,25 см, ДС = 0,65 см
Так как четырёхугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС, то углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) являются прямыми (опираются на диаметр).
Угол \( \angle ABC = 90° \).
Угол \( \angle ADC = 90° \).
Дуга ВС = 100°, дуга СД = 60°.
Вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, равен \( \angle BAC = 100° / 2 = 50° \).
Вписанный угол, опирающийся на дугу СД, равен \( \angle CAD = 60° / 2 = 30° \).
Углы четырёхугольника:
\[ \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 50° + 30° = 80° \]
\[ \angle C = ? \]
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.
\[ \angle A + \angle C = 180° \]
\[ 80° + \angle C = 180° \]
\[ \angle C = 180° - 80° = 100° \]
\[ \angle B = 90° \]
\[ \angle D = 90° \]
Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 90°, ∠C = 100°, ∠D = 90°
Пусть \( b \) — основание равнобедренного треугольника, \( a \) — боковая сторона. Периметр \( P = b + 2a \).
По условию \( b = 12 \text{ см} \) и \( P = 32 \text{ см} \).
Найдём боковую сторону \( a \):
\[ 32 = 12 + 2a \]
\[ 2a = 32 - 12 = 20 \text{ см} \]
\[ a = 10 \text{ см} \]
Радиус вписанной окружности \( r \) в равнобедренном треугольнике можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.
Полупериметр \( p = P / 2 = 32 / 2 = 16 \text{ см} \).
Высоту \( h \) равнобедренного треугольника, опущенную на основание, найдём по теореме Пифагора, разделив основание пополам ( \( b/2 = 12/2 = 6 \text{ см} \) ):
\[ h^2 + (b/2)^2 = a^2 \]
\[ h^2 + 6^2 = 10^2 \]
\[ h^2 + 36 = 100 \]
\[ h^2 = 100 - 36 = 64 \]
\[ h = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} · b · h = \frac{1}{2} · 12 · 8 = 6 · 8 = 48 \text{ см}^2 \).
Теперь найдём радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3 \text{ см} \]
Ответ: 3 см
