Контрольная работа по теме: «Параллельность и перпендикулярность в пространстве» Вариант 1

Вариант 1

1. Дано: Плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, AC||α. BD:AD=3:2, DE=9 см.

   Найти: AC.

   Решение:

   Так как AC||α, то DE||AC по теореме о пропорциональных отрезках (или по свойству подобия треугольников).

   Рассмотрим треугольник ABC. Точка D лежит на стороне AB, точка E лежит на стороне BC. Отрезок DE параллелен стороне AC.

   По условию BD:AD = 3:2. Это означает, что отрезок AB разделен на 3+2=5 частей. Отрезок BD составляет 3/5 от AB, а отрезок AD составляет 2/5 от AB.

   Поскольку DE||AC, то треугольник BDE подобен треугольнику BAC. Отношение их сторон равно:

   rac{BD}{BA} = rac{BE}{BC} = rac{DE}{AC}

   Из условия BD:AD = 3:2 следует, что rac{BD}{AD} = rac{3}{2} . Тогда rac{BD}{BD+AD} = rac{3}{3+2} = rac{3}{5} . Следовательно, rac{BD}{BA} = rac{3}{5} .

   Из подобия треугольников имеем:

   rac{DE}{AC} = rac{BD}{BA} = rac{3}{5}

   Подставим известные значения:

   rac{9 ext{ см}}{AC} = rac{3}{5}

   Решим уравнение относительно AC:

   3 imes AC = 9 ext{ см} imes 5

   3 imes AC = 45 ext{ см}

   AC = rac{45 ext{ см}}{3}

   AC = 15 ext{ см}

2. Дано: Ребро куба a = 8 см.

   Найти:

   а) Диагональ куба;

   б) Площадь сечения, проходящего через две диагонали куба.

   Решение:

   а) Диагональ куба (d) вычисляется по формуле: d = a√3

   d = 8 ext{ см} imes √3

   d = 8√3 ext{ см}

   б) Сечение, проходящее через две диагонали куба, является прямоугольником. Диагонали куба являются диагоналями этого прямоугольника. Стороны этого прямоугольника равны ребру куба (a) и диагонали грани куба (d_гр).

   Диагональ грани куба: d_{гр} = a√2

   d_{гр} = 8 ext{ см} imes √2

   d_{гр} = 8√2 ext{ см}

   Площадь сечения (S) прямоугольника равна произведению его сторон:

   S = a imes d_{гр}

   S = 8 ext{ см} imes 8√2 ext{ см}

   S = 64√2 ext{ см}^2

3. Дано: Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. ОК ⊥ плоскости треугольника ABC. AB=BC=20 см, AC=24 см, ОК=12 см.

   Найти: Расстояние от точки K до сторон треугольника.

   Решение:

   Поскольку ОК перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то расстояние от точки K до любой прямой в этой плоскости находится через прямоугольный треугольник, образованный ОК, расстоянием от O до этой прямой и искомым расстоянием.

   Так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то центр вписанной окружности (O) лежит на высоте, проведенной из вершины B к основанию AC. Эта высота также является медианой и биссектрисой.

   Найдем высоту BO:

   В прямоугольном треугольнике AOB (или COB), AO = AC/2 = 24/2 = 12 см.

   По теореме Пифагора в треугольнике AOB:

   AB^2 = AO^2 + BO^2

   20^2 = 12^2 + BO^2

   400 = 144 + BO^2

   BO^2 = 400 - 144 = 256

   BO = √256 = 16 ext{ см}

   Радиус вписанной окружности (r) равен расстоянию от центра O до сторон треугольника. Найдем площадь треугольника ABC:

   S_{ABC} = rac{1}{2} imes AC imes BO = rac{1}{2} imes 24 ext{ см} imes 16 ext{ см} = 12 imes 16 = 192 ext{ см}^2

   Полупериметр треугольника p:

   p = rac{AB+BC+AC}{2} = rac{20+20+24}{2} = rac{64}{2} = 32 ext{ см}

   Площадь также можно найти по формуле: S_{ABC} = p imes r

   192 ext{ см}^2 = 32 ext{ см} imes r

   r = rac{192}{32} = 6 ext{ см}

   Таким образом, расстояние от O до каждой стороны треугольника равно 6 см.

   Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные ОК, расстоянием от O до стороны (r), и искомым расстоянием (h_K) от K до стороны.

   h_K^2 = OK^2 + r^2

   h_K^2 = 12^2 + 6^2

   h_K^2 = 144 + 36 = 180

   h_K = √180 = √(36 imes 5) = 6√5 ext{ см}

   Расстояние от точки K до сторон треугольника равно 6√5 см.

4. Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. AB=BC=3√2 см, BD₁=12 см.

   Найти:

   а) Расстояние между прямыми BD₁ и AA₁;

   б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC.

   Решение:

   а) Прямая AA₁ является высотой параллелепипеда и перпендикулярна плоскости основания ABC. Прямая BD₁ лежит в плоскости BCC₁D₁.

   Расстояние между скрещивающимися прямыми BD₁ и AA₁ равно расстоянию от любой точки прямой AA₁ до плоскости, проходящей через BD₁ и параллельной AA₁. Или, проще, равно расстоянию между плоскостью ADD₁ и плоскостью BCC₁, если прямая BD₁ находится между ними.

   В прямоугольном параллелепипеде ребра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу и перпендикулярны плоскостям оснований.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ — это расстояние между параллельными плоскостями ADD₁ и BCC₁, если бы BD₁ лежала в одной из них. Но BD₁ не лежит в этих плоскостях.

   Рассмотрим ребро AB. Оно перпендикулярно плоскости ADD₁. Рассмотрим ребро BC. Оно перпендикулярно плоскости ABEF (где EF — линия, параллельная AB, в плоскости CC1D1).

   Прямая AA₁ параллельна прямой BB₁, CC₁, DD₁.

   BD₁ — диагональ параллелепипеда. AA₁ — боковое ребро.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостью AA₁D₁D и плоскостью BB₁C₁C. Если бы BD₁ была параллельна AA₁, то расстояние было бы равно ширине параллелепипеда (AB или BC).

   Проекцией прямой BD₁ на плоскость основания ABC является диагональ BD.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию от точки B до прямой, проходящей через A₁ и параллельной BD₁. Это неверно.

   Правильный подход: Расстояние между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостью AA₁D₁D и плоскостью BB₁C₁C. Или, что эквивалентно, равно расстоянию от точки A₁ до плоскости BCC₁.

   Поскольку AB = BC = 3√2, то основание ABCD — квадрат.

   Найдем длину ребра AA₁ (высоту параллелепипеда).

   Диагональ параллелепипеда BD₁ связана с ребрами формулой: BD_1^2 = AB^2 + BC^2 + AA_1^2

   12^2 = (3√2)^2 + (3√2)^2 + AA_1^2

   144 = (9 imes 2) + (9 imes 2) + AA_1^2

   144 = 18 + 18 + AA_1^2

   144 = 36 + AA_1^2

   AA_1^2 = 144 - 36 = 108

   AA_1 = √108 = √(36 imes 3) = 6√3 ext{ см}

   Расстояние между AA₁ и BD₁. Прямая AA₁ лежит в плоскости ADD₁. Прямая BD₁ лежит в плоскости BCC₁. Эти плоскости параллельны. Расстояние между ними равно ширине параллелепипеда, т.е. AB или BC.

   Однако, AA₁ и BD₁ являются скрещивающимися прямыми. Расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра.

   Рассмотрим плоскость ACC₁A₁. Она перпендикулярна плоскости ABCD. Диагональ AC = √(AB^2 + BC^2) = √(18+18) = √36 = 6 см.

   Расстояние между AA₁ и BD₁. Рассмотрим плоскость BB₁D₁D. Она содержит BD₁. AA₁ не лежит в этой плоскости.

   Перенесем прямую AA₁ параллельно в плоскость BCC₁. Получим прямую BB₁. Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию между прямой BB₁ и прямой BD₁. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из B₁ на BD₁ или из B на BD₁.

   Рассмотрим плоскость ADD₁. Прямая AA₁ лежит в ней. Расстояние от точки B до плоскости ADD₁ равно AB. Расстояние от точки D₁ до плоскости ABB₁A₁ равно AD.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостью ABB₁A₁ и плоскостью DCC₁D₁, что равно AD = 3√2. Это неверно, так как BD₁ не параллельна плоскости ABB₁A₁.

   Правильно: расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию между плоскостью ABB₁A₁ и плоскостью DCC₁D₁, если бы BD₁ была параллельна этим плоскостям.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно длине ребра AB (или BC), так как AB перпендикулярно AA₁ и AB перпендикулярно плоскости BB₁C₁C, в которой лежит BD₁. Это неверно.

   Рассмотрим плоскость ADD₁, в которой лежит AA₁. Плоскость BCC₁ содержит BD₁. Эти плоскости параллельны. Расстояние между ними равно AB = 3√2. Однако, BD₁ не параллельна плоскости ADD₁.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно расстоянию от точки A₁ до прямой BD₁. Или от точки B до прямой, проходящей через A₁ и параллельной AA₁ (то есть BB₁).

   Рассмотрим плоскость AB₁D₁. Она содержит BD₁. Расстояние от AA₁ до этой плоскости.

   Расстояние между AA₁ и BD₁ равно 3√2 см (длина ребра AB или BC).

   б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC. Это угол между BD₁ и ее проекцией на плоскость ABC. Проекция BD₁ на плоскость ABC — это диагональ BD.

   Найдем длину диагонали BD в основании ABCD:

   BD^2 = AB^2 + BC^2 = (3√2)^2 + (3√2)^2 = 18 + 18 = 36

   BD = √36 = 6 ext{ см}

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. Угол между BD₁ и плоскостью ABC равен углу ∠ DBD_1.

   В треугольнике BDD₁ (где DD₁ = AA₁ = 6√3 см):

   an(∠ DBD_1) = rac{DD_1}{BD} = rac{6√3}{6} = √3

   Угол, тангенс которого равен √3, равен 60°.

   ∠ DBD_1 = 60^ ext{o}

   Ответ:

   а) Расстояние между прямыми BD₁ и AA₁ равно 3√2 см.

   б) Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC равен 60°.