Контрольная работа по теме «Параллельные прямые, сумма углов треугольника» 7 класс Вариант 2 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника. 2. В треугольнике ABC угол C равен 106°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах. 3. Какова градусная мера угла C, изображенного на рисунке? 4. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см. 5. Отрезок AK — биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 78°.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту контрольную работу вместе. Я помогу вам понять каждый шаг. Задача 1: У нас есть равнобедренный треугольник, и угол при вершине равен $$52^circ$$. Нам нужно найти углы при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника равна $$180^circ$$. Пусть $$x$$ - угол при основании. Тогда: $$52^circ + x + x = 180^circ$$ $$2x = 180^circ - 52^circ$$ $$2x = 128^circ$$ $$x = 64^circ$$ Итак, углы при основании равны $$64^circ$$. Задача 2: В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$106^circ$$. Нужно найти внешний угол при вершине $$C$$. Внешний угол при вершине равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним. Либо можно найти смежный угол с углом $$C$$ и вычесть из $$180^circ$$. Внешний угол $$∠C = 180^circ - 106^circ = 74^circ$$. Ответ: $$74^circ$$. Задача 3: На рисунке даны два угла: $$∠MAK = 43^circ$$ и внешний угол $$∠CFE = 105^circ$$. Угол $$∠MKA = 43^circ$$, так как углы $$MAK$$ и $$MKA$$ равны. $$MK || ED$$, тогда углы $$∠MKA$$ и $$∠KED$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$MK$$ и $$ED$$ и секущей $$AE$$. Значит, $$∠KED = 43^circ$$. Угол $$∠CED$$ является смежным с внешним углом $$∠CFE$$. Следовательно, $$∠CED = 180^circ - 105^circ = 75^circ$$. Тогда угол $$∠C = ∠CED - ∠KED = 75^circ - 43^circ = 32^circ$$. Ответ: $$32^circ$$ Задача 4: Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Периметр треугольника равен 77 см. Нужно найти стороны этого треугольника. В тупоугольном равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, и они больше основания (иначе не получится тупоугольный треугольник). Пусть $$x$$ - боковая сторона, тогда основание будет $$x - 17$$. Периметр - сумма всех сторон. $$x + x + (x - 17) = 77$$ $$3x - 17 = 77$$ $$3x = 94$$ $$x = rac{94}{3} = 31rac{1}{3}$$ Основание: $$31rac{1}{3} - 17 = 14rac{1}{3}$$ Стороны треугольника: $$31rac{1}{3}$$ см, $$31rac{1}{3}$$ см, $$14rac{1}{3}$$ см. Задача 5: Отрезок $$AK$$ - биссектриса треугольника $$CAE$$. Через точку $$K$$ проведена прямая, параллельная стороне $$CA$$ и пересекающая сторону $$AE$$ в точке $$N$$. Найдите углы треугольника $$AKN$$, если $$∠CAE = 78^circ$$. Так как $$AK$$ - биссектриса $$∠CAE$$, то $$∠CAK = ∠KAE = rac{78^circ}{2} = 39^circ$$. Поскольку $$KN || CA$$, то $$∠NKA = ∠CAK = 39^circ$$ (как накрест лежащие углы). $$∠ANK = ∠CAE = 78^circ$$ (как соответственные углы при параллельных прямых $$KN$$ и $$CA$$ и секущей $$AE$$) Теперь найдем угол $$∠NAK$$ в треугольнике $$AKN$$: $$∠NAK = ∠KAE = 39^circ$$. Углы треугольника $$AKN$$: $$39^circ$$, $$39^circ$$, $$78^circ$$. Надеюсь, теперь вам все понятно! Удачи на контрольной!