Контрольная работа по теме "Параллельные прямые, сумма углов треугольника". Вариант 2 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла CFN. 3. Отрезок AD. - биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4. В треугольнике MNF известно, что ZN = 90°, ∠M=30°, отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см. 5. Докажите, что LA =2 C, если известно, что АВ || CD и ВС || А D.

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть данный угол при основании равен \[38^\circ\]. Сумма углов в треугольнике равна \[180^\circ\]. Тогда угол при вершине равен:

\[180^\circ - 2 \cdot 38^\circ = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\]

2. Градусная мера угла CFN

Угол \(CFN\) является внешним углом треугольника \(CFK\). Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

\[\angle CFN = \angle C + \angle FKC\]

Угол \(FKC\) является смежным с углом \(MKA\), который равен \(73^\circ\). Значит, \(\angle FKC = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ\).

Тогда:

\[\angle CFN = 44^\circ + 107^\circ = 151^\circ\]

3. Углы треугольника ADF

Так как \(AD\) - биссектриса угла \(BAC\), то \(\angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ\).

Поскольку прямая \(DF\) параллельна стороне \(AB\), угол \(ADF\) равен углу \(BAD\) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AB\) и \(DF\) и секущей \(AD\). Следовательно, \(\angle ADF = \angle BAD = 36^\circ\).

Теперь найдем угол \(AFD\) в треугольнике \(ADF\):

\[\angle AFD = 180^\circ - (\angle DAF + \angle ADF) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\]

Таким образом, углы треугольника \(ADF\) равны \(36^\circ\), \(36^\circ\) и \(108^\circ\).

4. Катет MN в треугольнике MNF

В прямоугольном треугольнике \(MNF\) с углом \(\angle M = 30^\circ\), катет \(NF\) лежит против этого угла, а катет \(MN\) прилежащий. Отрезок \(FD\) - биссектриса угла \(NFM\). Обозначим \(NF = x\), тогда по свойству биссектрисы в прямоугольном треугольнике:

\[\angle MFD = \angle DFN = \frac{90^\circ - 30^\circ}{2} = 30^\circ\]

Рассмотрим треугольник \(DFN\). Угол \(\angle DFN = 30^\circ\). Тогда можем выразить \(DN\) через \(FD\):

\[DN = FD \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\]

Далее, рассмотрим треугольник \(MNF\). Угол \(\angle M = 30^\circ\). Тогда:

\[NF = MN \cdot \tan(30^\circ) = MN \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Поскольку \(NF = DN\), мы можем выразить \(MN\) через \(DN\):

\[MN = \frac{NF}{\tan(30^\circ)} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 30 \text{ см}\]

Ответ: Катет MN = 30 см.

5. Доказательство

Дано: \(\angle A = \angle C\), \(AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD\).

Доказать: \(\angle A = \angle C\)

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\). Так как \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\), то \(ABCD\) - параллелограмм по определению.

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\).

Следовательно, утверждение доказано.