КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ "ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ" ВАРИАНТ - 2 1. Для функции f (x) = x² + 3 найдите первообразную и ее значение в точке х = - 2 2. Вычислить интеграл для функции f (x) = 1 - 2x - 3x² 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3 - 2x + х² и у = 3 4. Найти первообразную функции у = f (x) = 4x2 - x³, график которой проходит через точку № (-2; -2) 5. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у = х³ + 3, у = 0, x = -1, x = 1

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решим каждое задание контрольной работы шаг за шагом, применяя правила интегрирования и нахождения первообразных.

Шаг 1: Находим первообразную функции f(x) = x² + 3.
Первообразная F(x) = ∫ (x² + 3) dx = (x³/3) + 3x + C, где C - константа интегрирования.
Шаг 2: Вычисляем значение первообразной в точке x = -2.
F(-2) = ((-2)³/3) + 3(-2) + C = (-8/3) - 6 + C
Шаг 3: Упрощаем выражение.
F(-2) = -8/3 - 18/3 + C = -26/3 + C

Шаг 1: Находим интеграл функции f(x) = 1 - 2x - 3x².
∫ (1 - 2x - 3x²) dx = x - x² - x³ + C, где C - константа интегрирования.
Шаг 2: Вычисляем интеграл на заданном интервале. Так как интервал не указан, вычислим неопределенный интеграл.
Результат: x - x² - x³ + C

Шаг 1: Находим точки пересечения графиков функций y = 3 - 2x + x² и y = 3.
3 - 2x + x² = 3

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x = 0 или x = 2
Шаг 2: Вычисляем площадь фигуры как интеграл разности функций на интервале [0, 2].
S = ∫[0, 2] (3 - (3 - 2x + x²)) dx = ∫[0, 2] (2x - x²) dx
Шаг 3: Находим интеграл.
∫[0, 2] (2x - x²) dx = [x² - (x³/3)][0, 2] = (2² - (2³/3)) - (0² - (0³/3)) = 4 - 8/3 = 12/3 - 8/3 = 4/3
Шаг 4: Площадь фигуры равна 4/3.

Шаг 1: Находим первообразную функции f(x) = 4x² - x³.
F(x) = ∫ (4x² - x³) dx = (4x³/3) - (x⁴/4) + C, где C - константа интегрирования.
Шаг 2: Используем условие, что график проходит через точку N(-2; -2), чтобы найти C.
-2 = (4(-2)³/3) - ((-2)⁴/4) + C

-2 = (4(-8)/3) - (16/4) + C

-2 = -32/3 - 4 + C
Шаг 3: Решаем уравнение для C.
C = -2 + 32/3 + 4 = 2 + 32/3 = 6/3 + 32/3 = 38/3
Шаг 4: Записываем окончательную первообразную.
F(x) = (4x³/3) - (x⁴/4) + 38/3

Шаг 1: Вычисляем площадь криволинейной трапеции как интеграл функции y = x³ + 3 на интервале [-1, 1].
S = ∫[-1, 1] (x³ + 3) dx
Шаг 2: Находим интеграл.
∫[-1, 1] (x³ + 3) dx = [(x⁴/4) + 3x][-1, 1] = ((1⁴/4) + 3(1)) - (((-1)⁴/4) + 3(-1)) = (1/4 + 3) - (1/4 - 3) = 1/4 + 3 - 1/4 + 3 = 6
Шаг 3: Площадь криволинейной трапеции равна 6.

Ответ:

1. F(x) = (x³/3) + 3x + C, F(-2) = -26/3 + C

2. x - x² - x³ + C

3. 4/3

4. F(x) = (4x³/3) - (x⁴/4) + 38/3

5. 6