Контрольная работа по теме «Первообразная и интеграл» Вариант 1. 1. Докажите, что функция F(x) = x⁴ - 3 sin x является первообразной для функции f(x) = 4 x³-3 cos x. 2. Для функции у = 2/√x + 4 х найдите первообразную, которая удовлетворяет условию F(4) = 2. 3. Вычислите интегралы: 1 π/12 a) ∫₀ (6-7x⁶)dx б) ∫₀ cos24xdx 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 1 − x³, y = 0, x = -1. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5 х² + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = - 2 и прямой х = 0.

1. Докажем, что функция F(x) = x⁴ - 3 sin x является первообразной для функции f(x) = 4x³ - 3 cos x.

Для этого нужно показать, что производная F(x) равна f(x):

F'(x) = (x⁴ - 3 sin x)' = (x⁴)' - (3 sin x)' = 4x³ - 3 cos x = f(x)

Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

Ответ: Доказано.

---

2. Для функции y = 2/√x + 4x найдите первообразную, которая удовлетворяет условию F(4) = 2.

Сначала найдем общий вид первообразной:

F(x) = ∫ (2/√x + 4x) dx = 2∫ x^(-1/2) dx + 4∫ x dx = 2 * (x^(1/2) / (1/2)) + 4 * (x²/2) + C = 4√x + 2x² + C

Теперь найдем значение C, используя условие F(4) = 2:

2 = 4√4 + 2(4²) + C = 4 * 2 + 2 * 16 + C = 8 + 32 + C = 40 + C

C = 2 - 40 = -38

Таким образом, первообразная имеет вид:

F(x) = 4√x + 2x² - 38

Ответ: F(x) = 4√x + 2x² - 38

---

3. Вычислите интегралы:

a) ∫₀¹ (6 - 7x⁶) dx

∫₀¹ (6 - 7x⁶) dx = [6x - 7(x⁷/7)]₀¹ = [6x - x⁷]₀¹ = (6(1) - 1⁷) - (6(0) - 0⁷) = 6 - 1 - 0 = 5

Ответ: 5

б) ∫₀^(π/12) cos(24x) dx

∫₀^(π/12) cos(24x) dx = [sin(24x) / 24]₀^(π/12) = (sin(24 * π/12) / 24) - (sin(24 * 0) / 24) = (sin(2π) / 24) - (sin(0) / 24) = (0 / 24) - (0 / 24) = 0

Ответ: 0

---

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 1 - x³, y = 0, x = -1.

Площадь фигуры определяется интегралом от -1 до 1 функции y = 1 - x³:

S = ∫₋₁⁰ |1 - x³| dx = ∫₋₁⁰ (1 - x³) dx = [x - (x⁴/4)]₋₁⁰ = (0 - 0) - (-1 - ((-1)⁴/4)) = 0 - (-1 - 1/4) = 1 + 1/4 = 5/4

Ответ: 5/4

---

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0.5x² + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой x = -2 и прямой x = 0.

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции y = 0.5x² + 2 в точке x = -2.

y' = x

y'(-2) = -2

y(-2) = 0.5(-2)² + 2 = 0.5 * 4 + 2 = 2 + 2 = 4

Уравнение касательной: y - y₀ = y'(x₀) * (x - x₀)

y - 4 = -2 * (x - (-2))

y - 4 = -2x - 4

y = -2x

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0.5x² + 2, касательной y = -2x и прямой x = 0. Для этого найдем точку пересечения y = 0.5x² + 2 и y = -2x.

0. 5x² + 2 = -2x

0. 5x² + 2x + 2 = 0

x² + 4x + 4 = 0

(x + 2)² = 0

x = -2

Площадь равна интегралу от -2 до 0 разности функций (0.5x² + 2) - (-2x):

S = ∫₋₂⁰ (0.5x² + 2 + 2x) dx = [0.5(x³/3) + 2x + x²]₋₂⁰ = [x³/6 + 2x + x²]₋₂⁰ = (0) - ((-2)³/6 + 2(-2) + (-2)²) = 0 - (-8/6 - 4 + 4) = 0 - (-8/6) = 8/6 = 4/3

Ответ: 4/3