Контрольная работа по теме «Площади фигур. Теорема Пифагора». №1. Найдите площади фигур Вариант 3. 9 1 11 3 6 3 5 41 №2. Найдите катет прямоугольного треугольника 9 №3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 6см, а основание равно 16см. №4. Найдите площадь равнобедренной трапеции если её боковая сторона равна 13см, а основания равны 8см и 18 см. №5. В прямоугольном треугольнике одна сторона больше другой в два раза, гипотенуза равна 20см. Найдите стороны прямоугольного треугольника и его площадь.

Ответ: См. решение

№1. Найдите площади фигур

• Параллелограмм: Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

\[S = a \cdot h\]

\[S = 11 \cdot 9 = 99\]

• Площадь фигуры на клетчатой бумаге: Считаем количество полных и неполных клеток.

Площадь примерно равна количеству клеток. В данном случае - 9.

• Треугольник: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\]

• Трапеция: Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту.

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h\]

\[S = \frac{3+5}{2} \cdot 3 = 12\]

Ответ: 99, 9, 9, 12

№2. Найдите катет прямоугольного треугольника

• Применим теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

\[a^2 + 9^2 = 41^2\]

\[a^2 = 41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600\]

\[a = \sqrt{1600} = 40\]

Ответ: 40

№3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его высота равна 6см, а основание равно 16см.

• Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной.

По теореме Пифагора:

\[a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2\]

\[a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\]

\[a = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: 10 см

№4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её боковая сторона равна 13см, а основания равны 8см и 18 см.

• Проведем высоты из вершин меньшего основания.

Тогда отрезок большего основания, заключенный между высотами, равен меньшему основанию, т.е. 8 см.

Оставшиеся два отрезка равны \[(18 - 8) / 2 = 5\] см.

• Высоту найдем по теореме Пифагора:

\[h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\]

\[h = \sqrt{144} = 12\]

• Площадь трапеции:

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+18}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156\]

Ответ: 156 кв. см

№5. В прямоугольном треугольнике одна сторона больше другой в два раза, гипотенуза равна 20см. Найдите стороны прямоугольного треугольника и его площадь.

• Пусть один катет равен \(x\), тогда другой равен \(2x\).

По теореме Пифагора:

\[x^2 + (2x)^2 = 20^2\]

\[x^2 + 4x^2 = 400\]

\[5x^2 = 400\]

\[x^2 = 80\]

\[x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\]

• Тогда катеты равны:

\[4\sqrt{5}\] и \[8\sqrt{5}\]

• Площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8\sqrt{5} = 16 \cdot 5 = 80\]

Ответ: \(4\sqrt{5}\), \(8\sqrt{5}\), 80

Ответ: См. решение