Контрольная работа по теме «Правильные многоугольники. Окружность» Вариант 1. 1. Найти угол правильного тридцатишестиугольника. 2. Найти площадь круга и длину окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см. 3. Найти длину дуги окружности с радиусом 10 см, если угол равен 150 градусов. Найти площадь сектора. 4. Построить образ остроугольного треугольника МКР при симметрии относительно точки О, лежащей вне треугольника. 5. Построить образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны CD. 6. Построить образ ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М по часовой стрелке.

Решение:

1. Угол правильного 36-угольника:

   Формула угла правильного n-угольника: \[ \alpha = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \]

   Для n=36:

   \[ \alpha = \frac{(36-2) \times 180^{\circ}}{36} = \frac{34 \times 180^{\circ}}{36} = 34 \times 5^{\circ} = 170^{\circ} \]

2. Площадь круга и длина окружности:

   Сторона правильного вписанного треугольника a = 5√3 см.

   Радиус описанной окружности R связан со стороной правильного вписанного треугольника формулой:

   \[ a = R\sqrt{3} \]

   Отсюда:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \text{ см} \]

   Длина окружности:

   \[ C = 2\pi R = 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ см} \]

   Площадь круга:

   \[ S = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]

3. Длина дуги и площадь сектора:

   Радиус R = 10 см, центральный угол \(\theta = 150^{\circ}\). Переведем угол в радианы:
   \[ \theta = 150^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \text{ радиан} \]

   Длина дуги:

   \[ L = R \times \theta = 10 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{50\pi}{6} = \frac{25\pi}{3} \text{ см} \]

   Площадь сектора:

   \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{5\pi}{6} = 50 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{250\pi}{6} = \frac{125\pi}{3} \text{ см}^2 \]

4. Построение образа треугольника при симметрии относительно точки:

   Для построения образа треугольника МКР при симметрии относительно точки О, нужно построить точки М', К', Р' так, чтобы точка О была серединой отрезков ММ', КК', РР'. То есть, вектор МО = ОМ', КО = ОК', РО = ОР'.

5. Построение образа прямоугольника при симметрии относительно прямой:

   Для построения образа прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны CD, каждая вершина прямоугольника (A и B) должна быть отражена относительно этой прямой. Вершины C и D останутся на месте. Образом прямоугольника ABCD будет прямоугольник A'B'CD, где A' - образ A, B' - образ B. Точки A' и B' будут находиться на том же расстоянии от прямой CD, что и A и B соответственно, но по другую сторону от нее.

6. Построение образа ромба при повороте:

   Для построения образа ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М по часовой стрелке, нужно повернуть точки L, K, N на 60 градусов по часовой стрелке вокруг точки М. Точка М останется на месте. Получим ромб KLMN, где L', K', N' - повернутые точки.

Ответ:

1. 170°
2. Длина окружности: 10π см, Площадь круга: 25π см²
3. Длина дуги: 25π/3 см, Площадь сектора: 125π/3 см²
4. Построены точки М', К', Р' симметричные М, К, Р относительно точки О.
5. Построен прямоугольник A'B'CD, где A' и B' - образы A и B при симметрии относительно прямой CD.
6. Построен ромб K'L'M'N', где K', L', N' - образы K, L, N при повороте на 60° вокруг М по часовой стрелке.