Контрольная работа по теме «Правильные многоугольники. Окружность» Вариант 1 1. Найти угол правильного тридцатишестиугольника. 2. Найти площадь круга и длину окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см. 3. Найти длину дуги окружности с радиусом 10 см, если угол равен 150 градусов. Найти площадь сектора. 4. Построить образ остроугольного треугольника МКР при симметрии относительно точки О, лежащей вне треугольника. 5. Построить образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны CD. 6. Построить образ ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М по часовой стрелке.

Контрольная работа по теме «Правильные многоугольники. Окружность»

Вариант 1

1. Вопрос: Найти угол правильного тридцатишестиугольника.

   Краткое пояснение: Угол правильного n-угольника находится по формуле, где n — количество сторон.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Формула для внутреннего угла правильного n-угольника: \( < > =       / n \).
   2. Шаг 2: Подставляем n = 36: \( < > =       / 36 \).
   3. Шаг 3: Вычисляем: \( < > =               / 36 = 10   = 10     \).

   Ответ: 170°.

2. Вопрос: Найти площадь круга и длину окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.

   Краткое пояснение: Связь стороны вписанного равностороннего треугольника с радиусом описанной окружности позволяет найти радиус, а затем и площадь с длиной окружности.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Формула, связывающая сторону равностороннего треугольника (a) и радиус описанной окружности (R): \( a = R \).
   2. Шаг 2: Выражаем R: \( R = a /  = 5 /  = 5 \) см.
   3. Шаг 3: Площадь круга: \( S =   R^2 \). \( S =    5^2 = 25 \) см².
   4. Шаг 4: Длина окружности: \( L = 2  R \). \( L = 2   5 = 10 \) см.

   Ответ: Площадь круга — 25π см², длина окружности — 10π см.

3. Вопрос: Найти длину дуги окружности с радиусом 10 см, если угол равен 150 градусов. Найти площадь сектора.

   Краткое пояснение: Для нахождения длины дуги и площади сектора используем формулы, пропорциональные центральному углу.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Длина дуги: \( l = ( / 180)   R \). \( l = (150 / 180)   10 = (5/6)   10 = 50 / 6 = 25 / 3 \) см.
   2. Шаг 2: Площадь сектора: \( S_{sector} = ( / 360)   R^2 \). \( S_{sector} = (150 / 360)   10^2 = (5/12)   100 = 500 / 12 = 125 / 3 \) см².

   Ответ: Длина дуги — 25π/3 см, площадь сектора — 125π/3 см².

4. Вопрос: Построить образ остроугольного треугольника МКР при симметрии относительно точки О, лежащей вне треугольника.

   Краткое пояснение: Симметрия относительно точки означает, что каждая точка образа находится на прямой, соединяющей исходную точку и центр симметрии, на том же расстоянии от центра, но с противоположной стороны.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Для каждой вершины треугольника (М, К, Р) провести прямую через центр симметрии О.
   2. Шаг 2: На каждой из этих прямых отложить отрезок, равный расстоянию от вершины до центра симметрии, но в противоположном направлении. Например, для точки М, найти точку М' так, чтобы О было серединой отрезка ММ'.
   3. Шаг 3: Соединить полученные точки М', К', Р' — это и будет образ треугольника МКР при симметрии относительно точки О.

5. Вопрос: Построить образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны CD.

   Краткое пояснение: При симметрии относительно прямой, любая точка образа находится на той же прямой, перпендикулярной оси симметрии, и на том же расстоянии от нее, но с противоположной стороны. Точки, лежащие на оси, остаются на месте.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Поскольку прямая содержит стороны CD, точки C и D лежат на оси симметрии и остаются на месте.
   2. Шаг 2: Для точек A и B провести прямые, перпендикулярные прямой CD.
   3. Шаг 3: На этих перпендикулярах отложить отрезки, равные расстояниям от A до CD и от B до CD, но с противоположной стороны оси симметрии. Получим точки A' и B'.
   4. Шаг 4: Соединить точки C, D, B', A' — это и будет образ прямоугольника ABCD при симметрии относительно прямой CD.

6. Вопрос: Построить образ ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М по часовой стрелке.

   Краткое пояснение: Поворот фигуры вокруг точки означает, что каждая точка фигуры перемещается по дуге окружности с центром в точке поворота и радиусом, равным расстоянию от точки до центра.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Точка M является центром поворота, поэтому она остается на месте.
   2. Шаг 2: Для точек K, L, N провести дуги окружностей с центром в точке M и радиусами MK, ML, MN соответственно.
   3. Шаг 3: На каждой из этих дуг отложить угол 60 градусов по часовой стрелке. Например, для точки K, найти точку K' так, чтобы угол KМK' был равен 60° и поворот происходил по часовой стрелке.
   4. Шаг 4: Соединить полученные точки M, K', L', N' — это и будет образ ромба KLMN при повороте на 60° по часовой стрелке относительно точки М.