Контрольная работа по теме «Правильные многоугольники. Окружность» Вариант 2. 1. Найти угол правильного тридцатиугольника. 2. Найти площадь круга и длину окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 3. Найти длину дуги окружности с радиусом 4 см, если угол равен 120 градусов. Найти площадь сектора. 4. Построить образ прямоугольного треугольника МКР при симметрии относительно точки О, лежащей вне треугольника. 5. Построить образ квадрата ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны АВ. 6. Построить образ ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М против часовой стрелки.

Решение:

1. Угол правильного 30-угольника:

   Формула угла правильного n-угольника: \[ \alpha = \frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n} \]

   Для n=30:

   \[ \alpha = \frac{(30-2) \times 180^{\circ}}{30} = \frac{28 \times 180^{\circ}}{30} = 28 \times 6^{\circ} = 168^{\circ} \]

2. Площадь круга и длина окружности:

   Сторона описанного квадрата равна диаметру вписанной окружности, то есть 2R = 6 см. Следовательно, радиус окружности R = 3 см.

   Длина окружности:

   \[ C = 2\pi R = 2\pi \times 3 = 6\pi \text{ см} \]

   Площадь круга:

   \[ S = \pi R^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ см}^2 \]

3. Длина дуги и площадь сектора:

   Радиус R = 4 см, центральный угол \(\theta = 120^{\circ}\). Переведем угол в радианы:
   \[ \theta = 120^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} \]

   Длина дуги:

   \[ L = R \times \theta = 4 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \text{ см} \]

   Площадь сектора:

   \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{2\pi}{3} = 8 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} \text{ см}^2 \]

4. Построение образа прямоугольного треугольника при симметрии относительно точки:

   Для построения образа прямоугольного треугольника МКР при симметрии относительно точки О, нужно построить точки М', К', Р' так, чтобы точка О была серединой отрезков ММ', КК', РР'. То есть, вектор МО = ОМ', КО = ОК', РО = ОР'.

5. Построение образа квадрата при симметрии относительно прямой:

   Для построения образа квадрата ABCD при симметрии относительно прямой, содержащей стороны АВ, вершины C и D будут отражены относительно прямой AB. Вершины A и B останутся на месте. Образом квадрата ABCD будет квадрат ABC'D', где C' - образ C, D' - образ D. Точки C' и D' будут находиться на том же расстоянии от прямой AB, что и C и D соответственно, но по другую сторону от нее.

6. Построение образа ромба при повороте:

   Для построения образа ромба KLMN при повороте на 60 градусов относительно точки М против часовой стрелки, нужно повернуть точки L, K, N на 60 градусов против часовой стрелки вокруг точки М. Точка М останется на месте. Получим ромб KLMN, где L', K', N' - повернутые точки.

Ответ:

1. 168°
2. Длина окружности: 6π см, Площадь круга: 9π см²
3. Длина дуги: 8π/3 см, Площадь сектора: 16π/3 см²
4. Построены точки М', К', Р' симметричные М, К, Р относительно точки О.
5. Построен квадрат ABC'D', где C' и D' - образы C и D при симметрии относительно прямой AB.
6. Построен ромб K'L'M'N', где K', L', N' - образы K, L, N при повороте на 60° вокруг М против часовой стрелки.