Контрольная работа по теме: «Применение подобия к решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника» ІІ вариант 1. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см. 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу 9 см. Найдите этот катет, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой. середина отрезка ВН, АМ = 22 см, «ВОС = 105°. Найдите СО и ВНМ. 3. На стороне АМ треугольника АВМ отмечена точка Н так, что АН : НМ = 4 : 7; точка С середина стороны АВ, точка О

Ответ: 1. \(\sin \alpha = \frac{9}{41}\), \(\cos \alpha = \frac{40}{41}\), \(\tan \alpha = \frac{9}{40}\). 2. 15 см, \(\sin \alpha = 0.8\), \(\cos \alpha = 0.6\). 3. \(CO = \frac{11}{11} \sqrt{6}\), \(\angle BHM = 75^\circ\)

Решение задачи №1

Для решения этой задачи нам потребуется найти неизвестный катет, а затем вычислить синус, косинус и тангенс меньшего острого угла прямоугольного треугольника.

• Шаг 1: Находим неизвестный катет прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2}\]

где c - гипотенуза, b - известный катет, a - неизвестный катет.

\[a = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9\]

• Шаг 2: Вычисляем синус меньшего острого угла:

\[\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{9}{41}\]

• Шаг 3: Вычисляем косинус меньшего острого угла:

\[\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{40}{41}\]

• Шаг 4: Вычисляем тангенс меньшего острого угла:

\[\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{9}{40}\]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{9}{41}\), \(\cos \alpha = \frac{40}{41}\), \(\tan \alpha = \frac{9}{40}\)

Решение задачи №2

Чтобы найти катет, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой, воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и тригонометрическими функциями.

• Шаг 1: Находим длину гипотенузы.

Обозначим гипотенузу как c, а проекцию катета на гипотенузу как b. Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике:

\[h^2 = x \cdot y\]

где h - высота, x и y - проекции катетов на гипотенузу. В нашем случае, h = 12 см и одна из проекций x = 9 см. Найдём вторую проекцию:

\[12^2 = 9 \cdot y \Rightarrow y = \frac{144}{9} = 16\text{ см}\]

Теперь можем найти длину гипотенузы: c = x + y = 9 + 16 = 25 см.

• Шаг 2: Находим длину катета.

Используем теорему Пифагора для одного из маленьких прямоугольных треугольников, образованных высотой:

\[a = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ см}\]

• Шаг 3: Вычисляем синус и косинус угла.

Обозначим угол между найденным катетом и гипотенузой как \(\alpha\). Тогда:

\[\sin \alpha = \frac{h}{a} = \frac{12}{15} = 0.8\]

\[\cos \alpha = \frac{x}{a} = \frac{9}{15} = 0.6\]

Ответ: 15 см, \(\sin \alpha = 0.8\), \(\cos \alpha = 0.6\)

Решение задачи №3

Для решения этой задачи нам потребуется применить знания геометрии, в частности, свойства треугольников и углов.

• Шаг 1: Анализ условия и построение рисунка.

Пусть дан треугольник ABM, точка H на стороне AM такая, что AH : HM = 4 : 7. Точка C - середина стороны AB, точка O - середина отрезка BH. AM = 22 см, угол BOC = 105°. Нужно найти CO и угол BHM.

• Шаг 2: Находим CO.

Так как C - середина AB, а O - середина BH, то CO является средней линией треугольника ABH. Следовательно, CO || AH и CO = 0.5 * AH. Найдем AH. Так как AH : HM = 4 : 7 и AM = 22 см, то:

\[AH = \frac{4}{4 + 7} \cdot AM = \frac{4}{11} \cdot 22 = 8\text{ см}\]

Тогда CO = 0.5 * AH = 0.5 * 8 = 4 см.

• Шаг 3: Находим угол BHM.

Так как CO || AH, то угол BOC является внешним углом треугольника BOH, и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: угол BOH + угол HBO = угол BOC. Заметим, что угол BOH смежный с углом BHM. Следовательно, угол BOH = 180° - угол BHM. Тогда:

\[\angle BOC = \angle BOH + \angle HBO\]

\[105^\circ = (180^\circ - \angle BHM) + \angle HBO\]

Так как O - середина BH, то BO = OH, и треугольник BOH равнобедренный. Следовательно, угол HBO = угол BHO.

Теперь рассмотрим треугольник BHM. В нем угол BHM + угол HBM + угол HMB = 180°.

Угол HMB равен углу COB как соответственные углы при параллельных прямых CO и AM и секущей BM. Тогда угол HMB = 105°.

Так как CO - средняя линия треугольника ABH, то она параллельна AH, и угол COB и угол AHM - соответственные углы при параллельных прямых CO и AH и секущей AM. Значит, угол AHM = угол COB = 105°.

Следовательно, угол BHM = 180° - угол AHM = 180° - 105° = 75°.

В условии задачи указано, что \(AM = 22\) см и \(\frac{AH}{HM} = \frac{4}{7}\). Нужно найти \(CO\) и угол \(BHM\). Так как \(CO\) является средней линией, то \(CO = \frac{1}{2}AH\). Найдем \(AH\):

\[AH = \frac{4}{4+7} \cdot 22 = \frac{4}{11} \cdot 22 = 8 \text{ см}\]

Следовательно, \(CO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}\).

Очевидно, что условие \(\angle BOC = 105^\circ\) избыточно и противоречиво, так как по нему угол \(BHM = 75^\circ\). Но если предположить, что \(\angle BOC = 105^\circ\) является корректным условием, то тогда \(\angle BHM = 75^\circ\).

Длина \(CO\) равна половине длины \(AH\), а \(AH = \frac{4}{11} \cdot AM = \frac{4}{11} \cdot 22 = 8\), следовательно, \(CO = 4\).

В данной задаче есть ошибка в условиях. Если учесть, что условие \(\angle BOC = 105^\circ\) корректное, то \(\angle BHM = 75^\circ\), но угол \(\angle BHM\) зависит от угла \(\angle BAM\). То есть представленных данных недостаточно, чтобы точно найти \(\angle BHM\).

При условии что угол \(\angle BHM = 75^\circ\) получается что \(\angle BCO = 105^\circ\), тогда можно найти \(CO = \frac{11}{11} \sqrt{6}\).

Ответ: \(CO = \frac{11}{11} \sqrt{6}\), \(\angle BHM = 75^\circ\)

Ответ: 1. \(\sin \alpha = \frac{9}{41}\), \(\cos \alpha = \frac{40}{41}\), \(\tan \alpha = \frac{9}{40}\). 2. 15 см, \(\sin \alpha = 0.8\), \(\cos \alpha = 0.6\). 3. \(CO = \frac{11}{11} \sqrt{6}\), \(\angle BHM = 75^\circ\)