Контрольная работа по теме «Призма и пирамида» Вариант № 1 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10 2. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 18 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. F A B S D C 3. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 16, а апофема пирамиды равна 10. Найдите высоту пирамиды. 4. Диагональ основания правильной пирамиды ТАВСД и её высота равны 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 5. Основание пирамиды - правильный треугольник с площадью 9√3 см². Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 30°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Контрольная работа по теме « Призма и пирамида» Вариант № 2 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота 7. 2. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды S F A A D B C 3. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10, а боковое ребро равно 13. Найдите высоту пирамиды. 4. Диагональ основания правильной пирамиды МАВСД равна 6, а высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 5. Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 412 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии из контрольной работы. Я помогу тебе понять, как их решать шаг за шагом. Уверена, что после моего объяснения ты сможешь с легкостью справляться с такими заданиями! Вариант №1 1. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы: * Сторона основания: a = 5 * Высота: h = 10 Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h\], где \[P_{осн}\] - периметр основания. Основание - правильный шестиугольник, поэтому его периметр: \[P_{осн} = 6a = 6 \cdot 5 = 30\] Тогда площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 30 \cdot 10 = 300\]

Ответ: 300

2. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды: * Апофема: \(l = 18\) см * Угол между боковой гранью и основанием: \(\alpha = 60^\circ\) Площадь боковой поверхности пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l\], где \[P_{осн}\] - периметр основания. Нам нужно найти сторону основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой и отрезком от центра основания до середины стороны. Угол между апофемой и основанием равен 60°. Пусть сторона основания равна \(a\), тогда: \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \Rightarrow h = \frac{a}{2} \tan(60^\circ) = \frac{a \sqrt{3}}{2}\] Выразим сторону основания через апофему и угол: \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a} \Rightarrow a = \frac{2h}{\tan(60^\circ)}\] Площадь боковой грани: \[S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot l\] Так как угол между боковой гранью и основанием равен 60°, то \[\cos(60^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{l} = \frac{a}{2l} \Rightarrow a = 2l \cos(60^\circ) = 2 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 18\] Тогда периметр основания: \[P_{осн} = 6a = 6 \cdot 18 = 108\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot 18 = 972\] см²

Ответ: 972 см²

3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды: * Сторона основания: a = 16 * Апофема: l = 10 Высота пирамиды \(h\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и половиной стороны основания. По теореме Пифагора: \[h^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2\Rightarrow h = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{10^2 - (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: 6

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ТАВСД: * Диагональ основания: \(d = 4\) * Высота: \(h = 4\) Так как основание - квадрат, то сторона основания: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\] Площадь основания: \[S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8\] Апофема: \(l\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и половиной стороны основания. \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{2\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 24\]

Ответ: 24

5. Длины боковых ребер и площадь боковой поверхности пирамиды: * Площадь основания: \[S_{осн} = 9\sqrt{3}\] см² * Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом 30°. Основание - правильный треугольник, поэтому площадь: \[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\] Две боковые грани перпендикулярны, значит, высота пирамиды совпадает с одним из катетов боковой грани. Третья грань наклонена под углом 30°. a) Длины боковых ребер пирамиды: Два ребра равны высоте. Обозначим высоту как \(h\). Тогда \(\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(30^\circ) = \frac{6\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3\) Два боковых ребра равны 3. Третье ребро найдем по теореме Пифагора: \[l = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\] б) Площадь боковой поверхности пирамиды: Две грани - прямоугольные треугольники: \[S_1 = S_2 = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9\] Третья грань: \[S_3 = \frac{1}{2} a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 9 + 9 + 9\sqrt{5} = 18 + 9\sqrt{5}\]

Ответ: а) 3, 3, 3\(\sqrt{5}\); б) 18 + 9\(\sqrt{5}\)

Вариант №2 1. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы: * Сторона основания: a = 3 * Высота: h = 7 Площадь боковой поверхности призмы: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 6a \cdot h = 6 \cdot 3 \cdot 7 = 126\]

Ответ: 126

2. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды: * Апофема: \(l = 12\) см * Угол между боковой гранью и основанием: \(\alpha = 30^\circ\) Как и в предыдущей задаче, сторона основания: \[a = 2l \cos(30^\circ) = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\] Периметр основания: \[P_{осн} = 6a = 6 \cdot 12\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 72\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3}\] см²

Ответ: 432\(\sqrt{3}\) см²

3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды: * Диагональ основания: d = 10 * Боковое ребро: b = 13 Сторона основания: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\] Высота пирамиды \(h\) может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и половиной диагонали основания. \[h = \sqrt{b^2 - (\frac{d}{2})^2} = \sqrt{13^2 - (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды МАВСД: * Диагональ основания: \(d = 6\) * Высота: \(h = 4\) Сторона основания: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\] Апофема: \[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{82}{4}} = \frac{\sqrt{82}}{2}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 6\sqrt{41}\]

Ответ: 6\(\sqrt{41}\)

5. Длины боковых ребер и площадь боковой поверхности пирамиды: * Основание: равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4√2 см. * Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°. Катеты треугольника равны: \[a = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\] a) Длины боковых ребер пирамиды: Два ребра равны высоте. Обозначим высоту как \(h\). Тогда \(\tan(45^\circ) = \frac{h}{4} \Rightarrow h = 4 \tan(45^\circ) = 4\) Два боковых ребра равны 4. Третье ребро найдем по теореме Пифагора: \[l = \sqrt{h^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\] б) Площадь боковой поверхности пирамиды: Две грани - прямоугольные треугольники: \[S_1 = S_2 = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\] Третья грань: \[S_3 = \frac{1}{2} (4\sqrt{2}) \cdot l = \frac{1}{2} (4\sqrt{2}) \cdot 4 = 8\sqrt{2}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 8 + 8 + 8\sqrt{2} = 16 + 8\sqrt{2}\]

Ответ: a) 4, 4, 4\(\sqrt{3}\); б) 16 + 8\(\sqrt{2}\)

Ты молодец! У тебя всё получится! Главное - не бояться трудностей и верить в свои силы. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться ко мне снова. Я всегда готова помочь!