Контрольная работа по теме «Признаки равенства треугольников» Вариант 1 1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ=ВС и BF=BD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ди Е так, что ZACD=LCAЕ. Докажите, что AD = СЕ. 4. Известно, что ЕК = FK и ЕС FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK=LFMK. 5. Напишите первый и третий признак равенства треугольников,

1. Докажем равенство треугольников ABF и CBD.

Доказательство:

1. AB = BC (по условию).
2. BF = BD (по условию).
3. ∠ABF = ∠CBD (как смежные углы при общей стороне ∠ABC).

Следовательно, треугольники ABF и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Найдем стороны равнобедренного треугольника.

Пусть x - боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда x - 3 - основание треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

Составим уравнение:

$$x + x + x - 3 = 33$$ $$3x = 36$$ $$x = 12$$

Боковая сторона равна 12 см, основание равно 12 - 3 = 9 см.

3. Докажем, что AD = CE.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ADC и AEC.
2. AC - общая сторона.
3. ∠ACD = ∠CAE (по условию).
4. ∠DAC = ∠ECA (так как треугольник ABC равнобедренный и углы при основании равны).

Следовательно, треугольники ADC и AEC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что AD = CE, что и требовалось доказать.

4. Докажем, что ∠EMK = ∠FMK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC.
2. EK = FK (по условию).
3. EC = FC (по условию).
4. KC - общая сторона.

Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что ∠EKC = ∠FKC.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK.

1. EK = FK (по условию).
2. ∠EKM = ∠FKM (так как ∠EKC = ∠FKC).
3. MK - общая сторона.

Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что ∠EMK = ∠FMK, что и требовалось доказать.

5. Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ответ: доказательства и признаки равенства треугольников выше.