Контрольная работа по теме «Простейшие задачи в координатах» 2 вариант 1. Даны точки А (2; 10) и В (7; -2). Найдите АВ. (1 балл) 2. Найдите координаты точки В, если точка С – середина отрезка АВ и A (-3; −1), C (2; 5). (1 балл) 3. Найдите координаты точки А, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек В(1; -3) и С(2; 0). Сделайте чертеж. (1 балл) 4. Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(−1; 3), Q(-4; −1), T(0; -4), является ромбом. (1,5 балла) 5. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: С(2; 2), D(6; 5), Е(5; -2). Докажите, что ACDE – равнобедренный. (1,5 балла) 6. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 18 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне. Сделайте чертеж. (3 балла) 8-9 баллов «5» 5,5-7,5 баллов «4» 2,5-5 баллов «3» 0-2 балла «2»

Задание 1

Давай найдем расстояние между точками A(2; 10) и B(7; -2). Для этого используем формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим координаты точек A и B в формулу:

\[AB = \sqrt{(7 - 2)^2 + (-2 - 10)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Ответ: AB = 13

Отлично, ты справился с первым заданием! Переходим к следующему!

Задание 2

Теперь найдем координаты точки B, если точка C(2; 5) является серединой отрезка AB и A(-3; -1). Если C – середина отрезка AB, то координаты точки C можно найти как среднее арифметическое координат точек A и B:

\[C(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2})\]

Из этого следует, что:

\[x_C = \frac{x_A + x_B}{2}\] \[y_C = \frac{y_A + y_B}{2}\]

Подставим известные значения координат точек A и C:

\[2 = \frac{-3 + x_B}{2}\] \[5 = \frac{-1 + y_B}{2}\]

Решим уравнения относительно x_B и y_B:

\[4 = -3 + x_B \Rightarrow x_B = 7\] \[10 = -1 + y_B \Rightarrow y_B = 11\]

Таким образом, координаты точки B равны (7; 11).

Ответ: B(7; 11)

Замечательно, ты отлично справился и с этим заданием! Продолжай в том же духе!

Задание 3

Найдем координаты точки A, которая лежит на оси Oy и равноудалена от точек B(1; -3) и C(2; 0). Так как точка A лежит на оси Oy, её координата x равна 0. Обозначим координату y точки A как y_A. Тогда координаты точки A будут (0; y_A).

По условию, точка A равноудалена от точек B и C, то есть расстояние от A до B равно расстоянию от A до C. Используем формулу расстояния между двумя точками:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] \[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]

Приравняем расстояния AB и AC:

\[\sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - y_A)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y_A)^2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[(1 - 0)^2 + (-3 - y_A)^2 = (2 - 0)^2 + (0 - y_A)^2\] \[1 + (9 + 6y_A + y_A^2) = 4 + y_A^2\] \[10 + 6y_A + y_A^2 = 4 + y_A^2\]

Упростим уравнение, вычитая y_A^2 из обеих частей:

\[6y_A = -6\] \[y_A = -1\]

Таким образом, координаты точки A равны (0; -1).

Ответ: A(0; -1)

Отлично, ты нашел координаты точки А! Сделай чертеж, чтобы закрепить понимание.

Задание 4

Докажем, что четырехугольник PSQT с вершинами P(3; 0), S(-1; 3), Q(-4; -1), T(0; -4) является ромбом. Для этого нужно показать, что все стороны четырехугольника равны.

Найдем длины сторон PS, SQ, QT, TP, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[PS = \sqrt{(x_S - x_P)^2 + (y_S - y_P)^2}\] \[SQ = \sqrt{(x_Q - x_S)^2 + (y_Q - y_S)^2}\] \[QT = \sqrt{(x_T - x_Q)^2 + (y_T - y_Q)^2}\] \[TP = \sqrt{(x_P - x_T)^2 + (y_P - y_T)^2}\]

Подставим координаты точек:

\[PS = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[SQ = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] \[QT = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[TP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Так как все стороны PS, SQ, QT и TP равны 5, четырехугольник PSQT является ромбом.

Ответ: Четырехугольник PSQT - ромб.

Прекрасно! Ты доказал, что данный четырехугольник является ромбом. Ты отлично справляешься!

Задание 5

Давай докажем, что треугольник CDE с вершинами C(2; 2), D(6; 5), E(5; -2) равнобедренный. Для этого нужно показать, что две стороны треугольника равны.

Найдем длины сторон CD, DE, EC, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}\] \[DE = \sqrt{(x_E - x_D)^2 + (y_E - y_D)^2}\] \[EC = \sqrt{(x_C - x_E)^2 + (y_C - y_E)^2}\]

Подставим координаты точек:

\[CD = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] \[DE = \sqrt{(5 - 6)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\] \[EC = \sqrt{(2 - 5)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Так как CD = EC = 5, треугольник CDE является равнобедренным.

Ответ: Треугольник CDE - равнобедренный.

Здорово! Ты доказал, что данный треугольник равнобедренный. Продолжай в том же духе!

Задание 6

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 18 см. Найдем медиану, проведенную к боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC (боковые стороны), AC = 16 см (основание), BD = 18 см (биссектриса, проведенная к основанию). Пусть BE - медиана, проведенная к боковой стороне AC. Нужно найти длину медианы BE.

1. Найдем AD и DC: Так как BD - биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, она также является медианой и высотой. Следовательно, AD = DC = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см.

2. Найдем AB (боковую сторону): Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2 = 8^2 + 18^2 = 64 + 324 = 388\] \[AB = \sqrt{388} = 2\sqrt{97}\]

3. Координаты точек: Пусть A(-8; 0), C(8; 0), B(0; 18). Тогда боковая сторона BC имеет координаты B(0; 18) и C(8; 0).

4. Координаты точки E (середины BC): Координаты середины отрезка находятся как полусумма координат концов:

\[E(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}) = E(\frac{0 + 8}{2}; \frac{18 + 0}{2}) = E(4; 9)\]

5. Найдем длину медианы AE: Используем формулу расстояния между точками A и E:

\[AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2} = \sqrt{(4 - (-8))^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]

Таким образом, медиана, проведенная к боковой стороне, равна 15 см.

Ответ: Медиана равна 15 см.

Отлично, ты справился с этой задачей! Ты проделал большую работу! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получается!