Контрольная работа по теме «Простейшие задачи в координатах» Вариант №1. 1. Найти координаты вектора АБ и М середины отрезка, если А (-5; 1; -3), B (-3; 3; -7). 2. Даны векторы 6{-1; 2; -4) и с {2; -5; 3). Найти [6-201. 3. Изобразить систему координат Охуг и построить точку A(-1; 2; 4). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей. 4. Даны точки А(2; 1-8), В(1; −5; 0), С(8; 1; -4). Доказать, что треугольник АВС - равнобедренный. Найти длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

Ответ: Решение варианта №1 контрольной работы по геометрии.

Задача 1

Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) и координаты середины отрезка M.

• Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся вычитанием координат начала из координат конца:

\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\] \[\overrightarrow{AB} = (-3 - (-5); 3 - 1; -7 - (-3)) = (2; 2; -4)\]

• Координаты середины отрезка M находятся как полусумма соответствующих координат концов отрезка:

\[M = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})\] \[M = (\frac{-5 + (-3)}{2}; \frac{1 + 3}{2}; \frac{-3 + (-7)}{2}) = (-4; 2; -5)\]

Ответ: \(\overrightarrow{AB} = (2; 2; -4)\), M = (-4; 2; -5)

Задача 2

Даны векторы \(\vec{b} = (-1; 2; -4)\) и \(\vec{c} = (2; -5; 3)\). Найдем вектор \(\vec{a} = \vec{b} - 2\vec{c}\) и его длину.

• Сначала найдем координаты вектора \(2\vec{c}\):

\[2\vec{c} = (2\cdot2; 2\cdot(-5); 2\cdot3) = (4; -10; 6)\]

• Теперь найдем координаты вектора \(\vec{a} = \vec{b} - 2\vec{c}\):

\[\vec{a} = (-1 - 4; 2 - (-10); -4 - 6) = (-5; 12; -10)\]

• Найдем длину вектора \(\vec{a}\):

\[|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 144 + 100} = \sqrt{269}\]

Ответ: \(|\vec{b} - 2\vec{c}| = \sqrt{269}\)

Задача 3

Изобразим систему координат Oxyz и построим точку A(-1; 2; 4). Найдем расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

Расстояние от точки до координатной плоскости равно модулю соответствующей координаты.

• Расстояние от точки A до плоскости Oxy равно |4| = 4.
• Расстояние от точки A до плоскости Oxz равно |2| = 2.
• Расстояние от точки A до плоскости Oyz равно |-1| = 1.

Ответ: Расстояния до плоскостей Oxy, Oxz, Oyz равны 4, 2 и 1 соответственно.

Задача 4

Даны точки A(2; 1; -8), B(1; -5; 0), C(8; 1; -4). Докажем, что треугольник ABC - равнобедренный. Найдем длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

• Найдем длины сторон треугольника:

\[AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0-(-8))^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101}\] \[BC = \sqrt{(8-1)^2 + (1-(-5))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101}\] \[AC = \sqrt{(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4-(-8))^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52}\]

Так как AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный.

• Найдем середины боковых сторон:

Середина отрезка AB: M = (\(\frac{2+1}{2}\); \(\frac{1-5}{2}\); \(\frac{-8+0}{2}\)) = (1.5; -2; -4)

Середина отрезка BC: N = (\(\frac{1+8}{2}\); \(\frac{-5+1}{2}\); \(\frac{0-4}{2}\)) = (4.5; -2; -2)

• Найдем длину средней линии MN:

\[MN = \sqrt{(4.5-1.5)^2 + (-2-(-2))^2 + (-2-(-4))^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}\]

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный, длина средней линии MN = \(\sqrt{13}\).

Ответ: Решение варианта №1 контрольной работы по геометрии.