Контрольная работа по теме: «Решение квадратных уравнений» 8 класс «А» 1. Решить неполные квадратные уравнения: a) x²-5x = 0 б) х²-25 = 0 в) х² + 9 = 0 2. Решить полные квадратные уравнения: a) x²-11x + 24 = 0 6) x²-x-1=0 B) x²+x-4 = 0 3. Найдите два положительного числа, одно из которых на 2 больше другого, а их произведение равно 168. (12 и 14) 4. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения х² – 9x + 20 = 0

1. Решить неполные квадратные уравнения:

a) $$x^2 - 5x = 0$$

Вынесем общий множитель x за скобки:

$$x(x - 5) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x_1 = 0$$

$$x - 5 = 0$$

$$x_2 = 5$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 5$$

б) $$x^2 - 25 = 0$$

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:

$$(x - 5)(x + 5) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x - 5 = 0$$

$$x_1 = 5$$

$$x + 5 = 0$$

$$x_2 = -5$$

Ответ: $$x_1 = 5, x_2 = -5$$

в) $$x^2 + 9 = 0$$

$$x^2 = -9$$

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

2. Решить полные квадратные уравнения:

a) $$x^2 - 11x + 24 = 0$$

Решим через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Ответ: $$x_1 = 8, x_2 = 3$$

б) $$x^2 - x - 1 = 0$$

Решим через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

в) $$x^2 + x - 4 = 0$$

Решим через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$$

3. Найдите два положительного числа, одно из которых на 2 больше другого, а их произведение равно 168.

Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x + 2.

Их произведение равно 168:

$$x(x + 2) = 168$$

$$x^2 + 2x - 168 = 0$$

Решим через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$

Так как числа должны быть положительными, то x = 12.

Тогда второе число равно:

$$x + 2 = 12 + 2 = 14$$

Ответ: 12 и 14.

4. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения $$x^2 - 9x + 20 = 0$$

Используем теорему Виета:

Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$$x_1 + x_2 = -b = -(-9) = 9$$

Произведение корней равно свободному члену:

$$x_1 \cdot x_2 = c = 20$$

Ответ: Сумма корней равна 9, произведение корней равно 20.