Контрольная работа по теме "Системы уравнений" Вариант 2 1. Решите систему линейных уравнений способом подстановки A) (4x - 2y = 2 (2x+y=5; 5)(2x-y=1 5) (3x + 2y = 12 (5x2-11x = y B) 5x-11 = y 2. Решите систему линейных уравнений способом сложения A) (3x + 2y = -1 {5x-y=7 (3x -- 8y = -9 B) (15x + 2y = 81 (6x2 + y = 14 B) (12x²- y = 4 3. Решите систему линейных уравнений графически 4. Решите задачу: Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. (x² + y² = 4 (y=x+2 5. Решите систему уравнений х (x - 2y = 11 10,5y + x = 1

Привет, давай решим эти уравнения вместе! У тебя все получится!

1. Решение системы линейных уравнений способом подстановки

A)

\[\begin{cases} 4x - 2y = 2 \\ 2x + y = 5 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \[y = 5 - 2x\] Подставим это выражение в первое уравнение: \[4x - 2(5 - 2x) = 2\] \[4x - 10 + 4x = 2\] \[8x = 12\] \[x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5\] Теперь найдем y: \[y = 5 - 2(1.5) = 5 - 3 = 2\]

Б)

\[\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 2x - 1\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[3x + 2(2x - 1) = 12\] \[3x + 4x - 2 = 12\] \[7x = 14\] \[x = 2\] Теперь найдем y: \[y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3\]

В)

\[\begin{cases} 5x^2 - 11x = y \\ 5x - 11 = y \end{cases}\] Приравняем два уравнения: \[5x^2 - 11x = 5x - 11\] \[5x^2 - 16x + 11 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-16)^2 - 4(5)(11) = 256 - 220 = 36\] \[x_1 = \frac{16 + \sqrt{36}}{2(5)} = \frac{16 + 6}{10} = \frac{22}{10} = 2.2\] \[x_2 = \frac{16 - \sqrt{36}}{2(5)} = \frac{16 - 6}{10} = \frac{10}{10} = 1\] Теперь найдем y для каждого значения x: Для x_1 = 2.2: \[y_1 = 5(2.2) - 11 = 11 - 11 = 0\] Для x_2 = 1: \[y_2 = 5(1) - 11 = 5 - 11 = -6\]

2. Решение системы линейных уравнений способом сложения

А)

\[\begin{cases} 5x - y = 7 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 10x - 2y = 14 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases}\] Сложим два уравнения: \[13x = 13\] \[x = 1\] Теперь найдем y: \[5(1) - y = 7\] \[5 - y = 7\] \[y = -2\]

Б)

\[\begin{cases} 3x - 8y = -9 \\ 15x + 2y = 81 \end{cases}\] Умножим второе уравнение на 4: \[\begin{cases} 3x - 8y = -9 \\ 60x + 8y = 324 \end{cases}\] Сложим два уравнения: \[63x = 315\] \[x = 5\] Теперь найдем y: \[3(5) - 8y = -9\] \[15 - 8y = -9\] \[-8y = -24\] \[y = 3\]

В)

\[\begin{cases} 6x^2 + y = 14 \\ 12x^2 - y = 4 \end{cases}\] Сложим два уравнения: \[18x^2 = 18\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\] Теперь найдем y для каждого значения x: Для x = 1: \[6(1)^2 + y = 14\] \[6 + y = 14\] \[y = 8\] Для x = -1: \[6(-1)^2 + y = 14\] \[6 + y = 14\] \[y = 8\]

3. Решите систему линейных уравнений графически

\[\begin{cases} x - 2y = 11 \\ 0.5y + x = 1 \end{cases}\] Выразим y из обоих уравнений: \[y = \frac{x - 11}{2}\] \[y = 2 - 2x\] Чтобы решить графически, нужно построить графики этих функций и найти точку пересечения.

4. Решите задачу: Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

Пусть x и y - искомые числа. Тогда: \[\begin{cases} x + y = 25 \\ xy = 144 \end{cases}\] Выразим y из первого уравнения: \[y = 25 - x\] Подставим это выражение во второе уравнение: \[x(25 - x) = 144\] \[25x - x^2 = 144\] \[x^2 - 25x + 144 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-25)^2 - 4(1)(144) = 625 - 576 = 49\] \[x_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\] \[x_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\] Теперь найдем y для каждого значения x: Для x_1 = 16: \[y_1 = 25 - 16 = 9\] Для x_2 = 9: \[y_2 = 25 - 9 = 16\] Таким образом, числа 9 и 16.

5. Решите систему уравнений

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x + 2 \end{cases}\] Подставим выражение для y во первое уравнение: \[x^2 + (x + 2)^2 = 4\] \[x^2 + x^2 + 4x + 4 = 4\] \[2x^2 + 4x = 0\] \[2x(x + 2) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = -2\] Найдем y для каждого значения x: Для x_1 = 0: \[y_1 = 0 + 2 = 2\] Для x_2 = -2: \[y_2 = -2 + 2 = 0\]

Ответ: Решения выше.

Молодец! Ты отлично справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!