Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Вариант І 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ - 25. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм. 4. Найдите sina, если cosa = 4 4-5 5 5. Найдите тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, АВ =17. Вариант ІІ 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ 17. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 4. Найдите cosa, если sin a = 3 5 5. Найдите косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 21, АС =20.

Ответ: Вариант I: 1) 13 см; 2) 24; 3) 20 дм; 4) 3/5; 5) 15/8. Вариант II: 1) 25 см; 2) 8; 3) 12 дм; 4) 4/5; 5) 20/29.

Вариант I

1. 1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см.

   По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   \(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)

   \(c = \sqrt{169} = 13\) см

2. 2. Найдем другую сторону прямоугольника, если одна сторона равна 7, а диагональ - 25.

   По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\), где d - диагональ, a и b - стороны прямоугольника.

   Пусть a = 7, тогда \(25^2 = 7^2 + b^2\)

   \(625 = 49 + b^2\)

   \(b^2 = 625 - 49 = 576\)

   \(b = \sqrt{576} = 24\)

3. 3. Найдем катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.

   По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   Пусть c = 25 дм, b = 15 дм, тогда \(25^2 = a^2 + 15^2\)

   \(625 = a^2 + 225\)

   \(a^2 = 625 - 225 = 400\)

   \(a = \sqrt{400} = 20\) дм

4. 4. Найдем \(\sin a\), если \(\cos a = \frac{4}{5}\).

   Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

   \(\sin^2 a + (\frac{4}{5})^2 = 1\)

   \(\sin^2 a + \frac{16}{25} = 1\)

   \(\sin^2 a = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)

   \(\sin a = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\)

5. 5. Найдем тангенс угла A треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 8, AB = 17.

   Найдем AC по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

   \(17^2 = AC^2 + 8^2\)

   \(289 = AC^2 + 64\)

   \(AC^2 = 289 - 64 = 225\)

   \(AC = \sqrt{225} = 15\)

   Тангенс угла A: \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\)

Вариант II

1. 1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 24 см и 7 см.

   По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   \(c^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625\)

   \(c = \sqrt{625} = 25\) см

2. 2. Найдем другую сторону прямоугольника, если одна сторона равна 15, а диагональ - 17.

   По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\), где d - диагональ, a и b - стороны прямоугольника.

   Пусть a = 15, тогда \(17^2 = 15^2 + b^2\)

   \(289 = 225 + b^2\)

   \(b^2 = 289 - 225 = 64\)

   \(b = \sqrt{64} = 8\)

3. 3. Найдем катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм.

   По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

   Пусть c = 20 дм, b = 16 дм, тогда \(20^2 = a^2 + 16^2\)

   \(400 = a^2 + 256\)

   \(a^2 = 400 - 256 = 144\)

   \(a = \sqrt{144} = 12\) дм

4. 4. Найдем \(\cos a\), если \(\sin a = \frac{3}{5}\).

   Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

   \((\frac{3}{5})^2 + \cos^2 a = 1\)

   \(\frac{9}{25} + \cos^2 a = 1\)

   \(\cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)

   \(\cos a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)

5. 5. Найдем косинус угла A треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 21, AC = 20.

   Найдем AB по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

   \(AB^2 = 20^2 + 21^2\)

   \(AB^2 = 400 + 441 = 841\)

   \(AB = \sqrt{841} = 29\)

   Косинус угла A: \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\)

Ответ: Вариант I: 1) 13 см; 2) 24; 3) 20 дм; 4) 3/5; 5) 15/8. Вариант II: 1) 25 см; 2) 8; 3) 12 дм; 4) 4/5; 5) 20/29.