Контрольная работа по теме «Треугольники» Вариант №1. 1. Найди градусную меру угла М треугольника MNK, если ∠N=47°, ZK-55°. 2. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 8 см, ∠E=30° Найдите гипотенузу DE. 3. ДАВС -равнобедренный, АB=BC, ∠A+∠C= 102°. Определи величину ZA. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 67 см, а длина боковой стороны 42 см. Найдите периметр треугольника. 5. Дано: АО- BO, CO= DO, СО= 6 см, ВО= 6 см, BD= 8 см. Найти периметр АСАО. 6. Известно, что ACED — равнобедренный и ∠ECF=56°. Чему равен угол DEF? 7. Даны треугольники ERX и SMF. Известно, что EX-SF, RV=MF, ZRXE = ∠MFS. а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке; б) докажите, что AERX = ASMF.

1. Найди градусную меру угла М треугольника MNK, если ∠N=47°, ∠K=55°.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠M = 180° - ∠N - ∠K

∠M = 180° - 47° - 55° = 78°

Ответ: ∠M = 78°

2. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 8 см, ∠E=30°. Найдите гипотенузу DE.

Решение:

В прямоугольном треугольнике DEF, где ∠F = 90°, катет DF является противолежащим углу E.

sin(∠E) = DF / DE

DE = DF / sin(∠E)

DE = 8 см / sin(30°)

DE = 8 см / 0.5

DE = 16 см

Ответ: DE = 16 см

3. ΔABC - равнобедренный, AB=BC, ∠A+∠C= 102°. Определи величину ∠A.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. ∠A = ∠C.

Так как ∠A + ∠C = 102°, то 2∠A = 102°.

∠A = 102° / 2

∠A = 51°

Ответ: ∠A = 51°

4. Основание равнобедренного треугольника равно 67 см, а длина боковой стороны 42 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.

Периметр P = основание + 2 × боковая сторона

P = 67 см + 2 × 42 см

P = 67 см + 84 см

P = 151 см

Ответ: P = 151 см

5. Дано: AO= BO, CO= DO, CO= 6 см, BO= 6 см, BD= 8 см. Найти периметр ΔCAO.

Решение:

Периметр треугольника ΔCAO равен CA + AO + CO.

AO = BO = 6 см

CO = 6 см

CA = BD = 8 см

Периметр = CA + AO + CO

Периметр = 8 см + 6 см + 6 см = 20 см

Ответ: 20 см

6. Известно, что ΔCED — равнобедренный и ∠ECF=56°. Чему равен угол DEF?

Решение:

∠CED = ∠CDE, так как треугольник CED равнобедренный.

∠DCE = 180° - ∠ECF = 180° - 56° = 124°.

Тогда ∠CED = (180° - ∠DCE) / 2 = (180° - 124°) / 2 = 56° / 2 = 28°.

∠DEF = ∠CED = 28°.

Ответ: 28°

7. Даны треугольники ERX и SMF. Известно, что EX=SF, RX=MF, ∠RXE = ∠MFS. а) отметьте равенство указанных элементов на рисунке; б) докажите, что ΔERX = ΔSMF.

Решение:

б) Доказательство равенства треугольников ΔERX и ΔSMF:

Дано: EX = SF, RX = MF, ∠RXE = ∠MFS

Доказать: ΔERX = ΔSMF

Доказательство:

У нас есть два треугольника, ΔERX и ΔSMF, у которых:

1. Сторона EX равна стороне SF (EX = SF)
2. Сторона RX равна стороне MF (RX = MF)
3. Угол ∠RXE равен углу ∠MFS (∠RXE = ∠MFS)

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Так как EX = SF, RX = MF и ∠RXE = ∠MFS, то ΔERX = ΔSMF по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: ΔERX = ΔSMF доказано.