Контрольная работа по теме «Тригонометрические формулы» Вариант № 17 1. Выразите в радианной мере угол 75°; 2. Отметьте точки на единичной окружности выразите в градусной мере угол 4π;-7π; 3. Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов 4. Найдите значение выражения: 2 sin 60° + cos 90° - tg 45° 5. Найдите cosa, tga, ctga если sina = -0,8; 6. Упростите выражение: sin (π + a ) cos (π-α) ctg 7. Вычислите по формулам двойного угла: 2sin-cos 8. Представив 105° как сумму 60°+45° вычислить cos105° 9. Вычислите: cos- sin -ctg 10. Преобразовать в произведение выражение 1+2sina 5π 18 рад 5π 2 7π 3π 4π 643 π 2 ≤α≤ π 3π 2 π π 12 23π 15π 11π 44 12

1. Выразите в радианной мере угол 75°:

Для перевода градусной меры в радианную, умножим градусную меру на \[\frac{\pi}{180}\]:

\[75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}\]

Выразите в градусной мере угол \(\frac{5\pi}{18}\) рад:

Для перевода радианной меры в градусную, умножим радианную меру на \(\frac{180}{\pi}\):

\[\frac{5\pi}{18} = \frac{5\pi}{18} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{18} = 5 \cdot 10 = 50^\circ\]

Ответ: 75° = \(\frac{5\pi}{12}\) рад; \(\frac{5\pi}{18}\) рад = 50°

2. Отметьте точки на единичной окружности 4π; -7π; \(\frac{5\pi}{2}\); \(\frac{3\pi}{4}\); \(\frac{4\pi}{3}\)

4π: соответствует 2 полным оборотам окружности (положительное направление), то есть возвращаемся в начальную точку (0 радиан).

-7π: соответствует 3.5 оборотам окружности в отрицательном направлении. Так как нас интересует только положение точки, можно сказать, что это соответствует -π, то есть половине окружности в отрицательном направлении.

\(\frac{5\pi}{2}\): это 2.5 раза по \(\frac{\pi}{2}\). Два полных раза возвращают нас в исходную точку, и еще половина, то есть \(\frac{\pi}{2}\). Это точка на оси y, в верхней ее части.

\(\frac{3\pi}{4}\): это три четверти π. Находим эту точку на окружности.

\(\frac{4\pi}{3}\): это \(\frac{\pi}{3}\) + π, то есть к половине окружности прибавляем \(\frac{\pi}{3}\). Находим эту точку на окружности.

3. Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов

1) \(\frac{7\pi}{6}\):

\(\frac{7\pi}{6}\) = π + \(\frac{\pi}{6}\), то есть угол находится в III четверти.

В III четверти: sin < 0, cos < 0, tg > 0.

2) \(\frac{3\pi}{4}\):

\(\frac{3\pi}{4}\) находится во II четверти.

Во II четверти: sin > 0, cos < 0, tg < 0.

3) \(\frac{5\pi}{3}\):

\(\frac{5\pi}{3}\) находится в IV четверти.

В IV четверти: sin < 0, cos > 0, tg < 0.

Ответ: 1) sin < 0, cos < 0, tg > 0; 2) sin > 0, cos < 0, tg < 0; 3) sin < 0, cos > 0, tg < 0.

4. Найдите значение выражения: 2 sin 60° + cos 90° - tg 45°

Вспоминаем значения тригонометрических функций для углов 60°, 90° и 45°:

• sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• cos 90° = 0
• tg 45° = 1

Подставляем в выражение:

\[2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - 1 = \sqrt{3} - 1\]

Ответ: \(\sqrt{3} - 1\)

5. Найдите cosα, tgα, ctgα если sinα = -0.8; \(\frac{\pi}{2} \le α \le π\)

Так как \(\frac{\pi}{2} \le α \le π\), то угол α находится во II четверти, где sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0.

Находим cos α, используя основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[cos^2 α = 1 - sin^2 α\] \[cos^2 α = 1 - (-0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36\] \[cos α = ±\sqrt{0.36} = ±0.6\]

Так как cos α < 0 во II четверти, то cos α = -0.6.

Находим tg α и ctg α:

\[tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{-0.8}{-0.6} = \frac{4}{3}\] \[ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\]

Ответ: cos α = -0.6; tg α = \(\frac{4}{3}\); ctg α = \(\frac{3}{4}\).

6. Упростите выражение: \(\frac{sin (π + α) \cdot cos (π - α)}{ctg (\frac{3π}{2} - α)}\)

Используем формулы приведения:

• sin (π + α) = -sin α
• cos (π - α) = -cos α
• ctg (\(\frac{3π}{2}\) - α) = tg α

Подставляем в выражение:

\[\frac{-sin α \cdot (-cos α)}{tg α} = \frac{sin α \cdot cos α}{\frac{sin α}{cos α}} = \frac{sin α \cdot cos α \cdot cos α}{sin α} = cos^2 α\]

Ответ: cos²α

7. Вычислите по формулам двойного угла: 2sin \(\frac{π}{12}\)cos \(\frac{π}{12}\)

Используем формулу синуса двойного угла: 2sin α cos α = sin 2α

В нашем случае α = \(\frac{π}{12}\), тогда:

\[2sin \frac{π}{12} cos \frac{π}{12} = sin (2 \cdot \frac{π}{12}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}\]

Ответ: \(\frac{1}{2}\)

8. Представив 105° как сумму 60°+45° вычислить cos105°

Используем формулу косинуса суммы: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

В нашем случае α = 60°, β = 45°:

\[cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\)

9. Вычислите: cos \(\frac{23π}{4}\) - sin \(\frac{15π}{4}\) - ctg \((\frac{11π}{2}\)

Преобразуем каждый член:

cos \(\frac{23π}{4}\) = cos (6π - \(\frac{π}{4}\)) = cos (-\(\frac{π}{4}\)) = cos \(\frac{π}{4}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

sin \(\frac{15π}{4}\) = sin (4π - \(\frac{π}{4}\)) = sin (-\(\frac{π}{4}\)) = -sin \(\frac{π}{4}\) = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

ctg \((\frac{11π}{2}\) = ctg (5π + \(\frac{π}{2}\)) = ctg (π + \(\frac{π}{2}\)) = ctg \(\frac{π}{2}\) = 0

Подставляем в выражение:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Ответ: \(\sqrt{2}\)

10. Преобразовать в произведение выражение 1+2sina

Используем формулу: sin²(\(\frac{α}{2}\)) + cos²(\(\frac{α}{2}\)) = 1

sin α = 2sin(\(\frac{α}{2}\))cos(\(\frac{α}{2}\))

\[1 + 2sin α = sin^2(\frac{α}{2}) + cos^2(\frac{α}{2}) + 4sin(\frac{α}{2})cos(\frac{α}{2})\] \[= (sin(\frac{α}{2}) + cos(\frac{α}{2}))^2\]

Ответ: (sin(\(\frac{α}{2}\)) + cos(\(\frac{α}{2}\)))²

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься больших успехов в математике!