Контрольная работа по теме: «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники.» Вариант 1.

Задание 1

Дано: Центральный угол ВОС = 40°.

Найти: Вписанный угол, опирающийся на дугу ВС.

Решение:

1. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла.
2. Вписанный угол = Центральный угол / 2 = 40° / 2 = 20°.

Ответ: 20°

Задание 2

Дано: Окружность с центром О, радиус r = 9 см. Точка касания АВ. AO = 41 см.

Найти: Длину отрезка АВ.

Решение:

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник АОВ является прямоугольным (угол АВО = 90°).
2. По теореме Пифагора: AO² = AB² + OB².
3. 41² = AB² + 9².
4. 1681 = AB² + 81.
5. AB² = 1681 - 81 = 1600.
6. AB = √1600 = 40 см.

Ответ: 40 см

Задание 3

Дано: Хорды AB и CD пересекаются в точке E. AB = 0,7 см, BE = 0,5 см, CE = 0,4 см.

Найти: Длины отрезков DE и DC.

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд: AE * EB = CE * ED.
2. Сначала найдем AE: AE = AB - BE = 0,7 см - 0,5 см = 0,2 см.
3. 0,2 * 0,5 = 0,4 * ED.
4. 0,1 = 0,4 * ED.
5. ED = 0,1 / 0,4 = 1/4 = 0,25 см.
6. Теперь найдем DC: DC = DE + CE = 0,25 см + 0,4 см = 0,65 см.

Ответ: DE = 0,25 см, DC = 0,65 см

Задание 4

Дано: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр AC. Дуга BC = 100°, Дуга CD = 60°.

Найти: Углы четырехугольника.

Решение:

1. Так как ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.
2. Угол ABC вписанный и опирается на дугу ADC. Дуга ADC = 360° - Дуга BC - Дуга CD = 360° - 100° - 60° = 200°. Угол ABC = 200° / 2 = 100°.
3. Угол ADC = 180° - Угол ABC = 180° - 100° = 80°.
4. Угол BCD вписанный и опирается на дугу BAD. Дуга BAD = Дуга BA + Дуга AD.
5. Угол BAD вписанный и опирается на дугу BCD. Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 100° + 60° = 160°. Угол BAD = 160° / 2 = 80°.
6. Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 80° = 100°.
7. Проверка: 100° + 80° + 100° + 80° = 360°.

Ответ: ∠ABC = 100°, ∠ADC = 80°, ∠BAD = 80°, ∠BCD = 100°

Задание 5

Дано: Равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см. Вписана окружность.

Найти: Радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Найдем длину боковой стороны треугольника: Периметр = основание + 2 * боковая сторона.
2. 32 = 12 + 2 * боковая сторона.
3. 2 * боковая сторона = 32 - 12 = 20 см.
4. Боковая сторона = 20 / 2 = 10 см.
5. Найдем площадь треугольника. Сначала найдем высоту, проведенную к основанию. Она делит основание пополам (12/2 = 6 см).
6. По теореме Пифагора: высота² + (основание/2)² = боковая сторона².
7. h² + 6² = 10².
8. h² + 36 = 100.
9. h² = 100 - 36 = 64.
10. h = √64 = 8 см.
11. Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота = 1/2 * 12 * 8 = 48 см².
12. Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: Площадь = полупериметр * r.
13. Полупериметр (p) = Периметр / 2 = 32 / 2 = 16 см.
14. 48 = 16 * r.
15. r = 48 / 16 = 3 см.

Ответ: 3 см