Контрольная работа по теме: «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники.» Вариант 2.

Задание 1:

Дано: Центральный угол ВОС = 30°.

Найти: Вписанный угол, опирающийся на дугу ВС.

Решение: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол = \[ \frac{30°}{2} = 15° \]

Ответ: 15°

Задание 2:

Дано: Окружность с центром О. Прямая АВ касается окружности в точке А. Радиус окружности = 7 см. АВ = 24 см.

Найти: ОВ.

Решение: Так как АВ — касательная, то радиус ОА перпендикулярен АВ. Треугольник ОАВ — прямоугольный.

По теореме Пифагора:

\[ OB^2 = OA^2 + AB^2 \]

\[ OB^2 = 7^2 + 24^2 \]

\[ OB^2 = 49 + 576 \]

\[ OB^2 = 625 \]

\[ OB = \sqrt{625} = 25 \]

Ответ: 25 см

Задание 3:

Дано: В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АЕ = 0,24 см. СД = 0,8 см. ДЕ = 0,2 см.

Найти: ВЕ, АВ.

Решение:

1. Находим ЕС:
• ЕС = СД - ДЕ = 0,8 см - 0,2 см = 0,6 см.
2. Применяем теорему о пересекающихся хордах:
• АЕ ⋅ ВЕ = СЕ ⋅ DE
• 0,24 ⋅ ВЕ = 0,6 ⋅ 0,2
• 0,24 ⋅ ВЕ = 0,12
• ВЕ = \[ \frac{0,12}{0,24} = 0,5 \] см.
3. Находим АВ:
• АВ = АЕ + ВЕ = 0,24 см + 0,5 см = 0,74 см.

Ответ: ВЕ = 0,5 см, АВ = 0,74 см.

Задание 4:

Дано: Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК. Дуга NK = 140°. Дуга PK = 100°.

Найти: Углы четырехугольника MNKP.

Решение:

1. Угол MNK:
• Угол MNK вписан и опирается на диаметр МК, значит, он прямой.
• \[ \angle MNK = 90° \]
2. Угол MPK:
• Угол MPK также вписан и опирается на диаметр МК, значит, он прямой.
• \[ \angle MPK = 90° \]
3. Угол NKP:
• Вписанный угол NKP опирается на дугу NPK.
• Дуга NPK = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240°.
• \[ \angle NKP = \frac{1}{2} \text{Дуга NPK} = \frac{1}{2} \cdot 240° = 120° \]
4. Угол NMP:
• Вписанный угол NMP опирается на дугу NP.
• Полная окружность = 360°.
• Дуга NP = 360° - Дуга NK - Дуга PK = 360° - 140° - 100° = 120°.
• \[ \angle NMP = \frac{1}{2} \text{Дуга NP} = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \]

Ответ: ∠MNK = 90°, ∠MPK = 90°, ∠NKP = 120°, ∠NMP = 60°.

Задание 5:

Дано: Равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см. Вписана окружность.

Найти: Радиус этой окружности.

Решение:

1. Находим основание треугольника (a):
• Периметр = 2 * боковая сторона + основание
• 54 = 2 * 15 + a
• 54 = 30 + a
• a = 54 - 30 = 24 см.
2. Находим площадь треугольника (S) по формуле Герона:
• Полупериметр (p) = Периметр / 2 = 54 / 2 = 27 см.
• \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
• \[ S = \sqrt{27(27-24)(27-15)(27-15)} \]
• \[ S = \sqrt{27 · 3 · 12 · 12} \]
• \[ S = \sqrt{81 · 144} \]
• \[ S = 9 · 12 = 108 ext{ см}^2 \]
3. Находим радиус вписанной окружности (r) по формуле:
• \[ r = \frac{S}{p} \]
• \[ r = \frac{108}{27} = 4 \] см.

Ответ: 4 см