Контрольная работа по теме: «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники.» Вариант 2. 1. Центральный угол ВОС равен 30°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу ВС. 2. Прямая АВ касается окружности в точке А. Радиус окружности 7 см, а центр О, АВ=24 см. Найти ОВ. 3.В окружности хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. АЕ=0,24 см, СД=0,8 см, ДЕ=0,2 см. Найти ВЕ, АВ. 4. Четырехугольник MNKР вписан в окружность диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK=140°, дуга PK=100°. 5.В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15 см и периметром 54 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

1. Нахождение вписанного угла:

• Центральный угол равен 30°, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального.
• Вписанный угол = 30° / 2 = 15°.

2. Нахождение ОВ:

• Треугольник ОАВ — прямоугольный (так как АВ — касательная, а ОА — радиус).
• По теореме Пифагора: OB² = OA² + AB²
• OB² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
• OB = √625 = 25 см.

3. Нахождение ВЕ и АВ:

• По свойству пересекающихся хорд: AE · BE = CE · DE
• Дано: СД = 0,8 см, ДЕ = 0,2 см. Значит, СЕ = СД - ДЕ = 0,8 - 0,2 = 0,6 см.
• 0,24 · BE = 0,6 · 0,2
• 0,24 · BE = 0,12
• BE = 0,12 / 0,24 = 0,5 см.
• AB = AE + BE = 0,24 + 0,5 = 0,74 см.

4. Нахождение углов четырехугольника MNKP:

• Диаметр МК является стороной четырехугольника.
• Угол MNK и MPK опираются на диаметр, следовательно, они равны 90°.
• Угол NKP = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MK) = 1/2 (360° - 140° - 100°) = 1/2 (120°) = 60°.
• Угол KMN = 1/2 дуги KPN = 1/2 (дуга KP + дуга PN) = 1/2 (100° + (360°-140°-100°)) = 1/2(100°+120°) = 1/2(220°) = 110°.
• Проверка: 90° + 90° + 60° + 110° = 350°? Что-то не сходится.
• Пересчитываем:
• Угол MNK = 90° (опирается на диаметр МК)
• Угол MPK = 90° (опирается на диаметр МК)
• Угол NKP = 1/2 дуги NM = 1/2 (360° - 140° - 100°) = 1/2 (120°) = 60°.
• Угол KMN = 1/2 дуги KPN = 1/2 (дуга KP + дуга PN) = 1/2 (100° + (360° - 140° - 100°)) = 1/2 (100° + 120°) = 1/2 (220°) = 110°.
• Сумма углов: 90° + 90° + 60° + 110° = 350°. Опять ошибка.
• Давайте пересмотрим задачу. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК. Это значит, что углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
• Угол MNK = 90° (опирается на диаметр МК).
• Угол MPK = 90° (опирается на диаметр МК).
• Углы четырехугольника, вписанного в окружность, равны половине дуги, на которую они опираются.
• Угол MNP = 1/2 дуги MKP = 1/2 (дуга MK + дуга KP) = 1/2 (180° + 100°) = 1/2 (280°) = 140°.
• Угол NKM = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MP) = 1/2 (140° + 180°) = 1/2 (320°) = 160°.
• Проверим сумму углов: 90 + 90 + 140 + 160 = 480°. Это неверно.
• Попробуем иначе.
• Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.
• Угол KMN опирается на дугу KPN. Дуга KPN = дуга KP + дуга PN.
• Угол NKP опирается на дугу NMP. Дуга NMP = дуга NM + дуга MP.
• Угол MNK опирается на дугу MPK. Дуга MPK = дуга MP + дуга PK.
• Угол MPK опирается на дугу MNK. Дуга MNK = дуга MN + дуга NK.
• Угол MNK = 90° (опирается на диаметр МК).
• Угол MPK = 90° (опирается на диаметр МК).
• Угол KMN = 1/2 дуги KN (большей дуги KN). Дуга KN = 360 - 140 - 100 = 120. Это дуга NK.
• Угол KMN = 1/2 дуги NK = 1/2 * 140° = 70°.
• Угол NKM = 1/2 дуги NM = 1/2 * (360 - 140 - 100) = 1/2 * 120° = 60°.
• Угол MPN = 1/2 дуги MN = 1/2 * (360 - 140 - 100) = 1/2 * 120° = 60°.
• Угол PNM = 1/2 дуги PKM = 1/2 (дуга PK + дуга MK) = 1/2 (100° + 180°) = 1/2 * 280° = 140°.
• Угол KNP = 1/2 дуги KP = 1/2 * 100° = 50°.
• Угол PKN = 1/2 дуги PN = 1/2 * (360 - 140 - 100) = 1/2 * 120° = 60°.
• Сумма углов четырехугольника:
• Угол MNK = 90°
• Угол MPK = 90°
• Угол KMN = 1/2 дуги KN = 1/2 * 140° = 70°
• Угол NKP = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MP).
• Дуга NM = 360° - 140° - 100° = 120°.
• Угол NKP = 1/2 * (120° + 180°) = 1/2 * 300° = 150°.
• Угол KPN = 1/2 дуги KMN = 1/2 (дуга KM + дуга MN) = 1/2 (180° + 120°) = 1/2 * 300° = 150°.
• Сумма углов: 90 + 90 + 70 + 150 = 400°. Опять неверно.
• Давайте посчитаем дуги:
• Дуга NK = 140°
• Дуга PK = 100°
• Дуга NM + Дуга MP = 360° - 140° - 100° = 120°
• Углы четырехугольника:
• ∠ M = 1/2 дуги NKP = 1/2 (дуга NK + дуга KP) = 1/2 (140° + 100°) = 1/2 * 240° = 120°.
• ∠ K = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MP) = 1/2 * 120° = 60°.
• ∠ N = 1/2 дуги MKP = 1/2 (дуга MK + дуга KP) = 1/2 (180° + 100°) = 1/2 * 280° = 140°.
• ∠ P = 1/2 дуги MNK = 1/2 (дуга MN + дуга NK) = 1/2 (120° + 140°) = 1/2 * 260° = 130°.
• Проверка: 120° + 60° + 140° + 130° = 450°. Опять неверно.
• Возвращаемся к условию: Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК.
• Это значит, что ∠ MNK = 90° и ∠ MPK = 90°.
• Угол KMN опирается на дугу KPN. Дуга KPN = дуга KP + дуга PN.
• Угол NKP опирается на дугу NMP. Дуга NMP = дуга NM + дуга MP.
• Угол KMN = 1/2 дуги KN. Дуга KN = 360° - 140° - 100° = 120°. Так как MNKP - четырехугольник, то дуга MN + дуга NP = 120°.
• Угол KMN = 1/2 дуги KPN = 1/2 (дуга KP + дуга PN).
• Угол NKP = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MP).
• Угол KMN = 1/2 дуги KN = 1/2 * 140° = 70°.
• Угол NKM = 1/2 дуги NM = 1/2 * (360° - 140° - 100°) = 1/2 * 120° = 60°.
• Угол KPN = 1/2 дуги KMN = 1/2 (дуга KM + дуга MN) = 1/2 (180° + 120°) = 150°.
• Угол MNP = 1/2 дуги MKP = 1/2 (дуга MK + дуга KP) = 1/2 (180° + 100°) = 140°.
• Сумма углов: 70° + 60° + 150° + 140° = 420°. Неверно.
• Углы четырехугольника MNKP:
• ∠ M = 1/2 дуги NKP = 1/2 (дуга NK + дуга KP) = 1/2 (140° + 100°) = 120°.
• ∠ N = 1/2 дуги MKP = 1/2 (дуга MK + дуга KP) = 1/2 (180° + 100°) = 140°.
• ∠ K = 1/2 дуги NMP = 1/2 (дуга NM + дуга MP) = 1/2 (360° - 140° - 100°) = 1/2 * 120° = 60°.
• ∠ P = 1/2 дуги MNK = 1/2 (дуга MN + дуга NK) = 1/2 (120° + 140°) = 130°.
• Сумма: 120 + 140 + 60 + 130 = 450°. Ошибка в условии или в моем понимании.
• Если МК - диаметр, то ∠ MNK = 90° и ∠ MPK = 90°.
• Дуга NK = 140°. Угол NMK = 1/2 дуги NK = 70°. Угол NPK = 1/2 дуги NK = 70°.
• Дуга PK = 100°. Угол PMK = 1/2 дуги PK = 50°. Угол PNK = 1/2 дуги PK = 50°.
• ∠ MNK = ∠ NMK + ∠ KMN = 90°.
• ∠ MPK = ∠ PMK + ∠ KMP = 90°.
• ∠ N = ∠ NMK + ∠ KMN = 70° + 50° = 120°.
• ∠ P = ∠ NPK + ∠ KMP = 70° + 50° = 120°.
• ∠ M = ∠ NMK + ∠ KMN = 70° + 50° = 120°.
• ∠ K = ∠ NPK + ∠ KMP = 70° + 50° = 120°.
• Сумма углов: 120 + 120 + 90 + 90 = 420°. Ошибка.
• Давайте снова.
• ∠ MNK = 90°, ∠ MPK = 90°.
• ∠ N = 1/2 дуги MKP = 1/2 (дуга MK + дуга KP) = 1/2 (180° + 100°) = 140°.
• ∠ P = 1/2 дуги MNK = 1/2 (дуга MN + дуга NK) = 1/2 ( (360° - 140° - 100°) + 140°) = 1/2 (120° + 140°) = 1/2 * 260° = 130°.
• Сумма углов: 90° + 90° + 140° + 130° = 450°. Неверно.
• Переформулируем.
• ∠ M = ∠ NMK + ∠ KMP.
• ∠ K = ∠ NKM + ∠ PKM.
• ∠ N = 90°. ∠ P = 90°.
• ∠ NMK = 1/2 дуги NK = 1/2 * 140° = 70°.
• ∠ KMP = 1/2 дуги KP = 1/2 * 100° = 50°.
• ∠ M = 70° + 50° = 120°.
• ∠ NKM = 1/2 дуги NM = 1/2 * (360° - 140° - 100°) = 1/2 * 120° = 60°.
• ∠ PKM = 1/2 дуги PK = 1/2 * 100° = 50°.
• ∠ K = 60° + 50° = 110°.
• Проверка: 120° + 90° + 110° + 90° = 410°. Неверно.
• Углы четырехугольника MNKP:
• ∠ M = 1/2 дуги NKP = 1/2(140° + 100°) = 120°.
• ∠ N = 1/2 дуги MKP = 1/2(180° + 100°) = 140°.
• ∠ K = 1/2 дуги NMP = 1/2(120°) = 60°.
• ∠ P = 1/2 дуги MNK = 1/2(120° + 140°) = 130°.
• Сумма: 120+140+60+130 = 450°. Ошибка.
• Правильное решение:
• ∠ MNK = 90° (опирается на диаметр).
• ∠ MPK = 90° (опирается на диаметр).
• ∠ M = 1/2 дуги NKP = 1/2(140° + 100°) = 120°.
• ∠ K = 1/2 дуги NMP = 1/2(360° - 140° - 100°) = 1/2 * 120° = 60°.
• Сумма: 90 + 90 + 120 + 60 = 360°.
• Углы четырехугольника: ∠ M = 120°, ∠ N = 90°, ∠ K = 60°, ∠ P = 90°.

5. Нахождение радиуса вписанной окружности:

• Периметр равнобедренного треугольника = 54 см.
• Боковая сторона = 15 см.
• Основание = 54 - 15 - 15 = 24 см.
• Площадь треугольника по формуле Герона:
• s = (15 + 15 + 24) / 2 = 54 / 2 = 27 см.
• Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(27(27-15)(27-15)(27-24)) = √(27 · 12 · 12 · 3) = √(27 · 144 · 3) = √(81 · 144) = 9 · 12 = 108 см².
• Площадь также равна: Площадь = полупериметр · радиус вписанной окружности.
• 108 = 27 · r
• r = 108 / 27 = 4 см.

Итоговые ответы:

• 1. 15°.
• 2. 25 см.
• 3. ВЕ = 0,5 см, АВ = 0,74 см.
• 4. Углы четырехугольника: 120°, 90°, 60°, 90°.
• 5. 4 см.