Контрольная работа по теме «Векторы. Метод координат» Вариант 2 1. Даны точки А(1;-2), B(3;6), C (5;-2) AB а) найдите координаты вектора AB б) разложить вектор ini по координатным векторам и AB в) найдите длину вектора AB г) найти сумму векторов И BC д) найти координаты середины отрезка АВ. 2. Даны координаты вершин треугольника А(0;3), B(-2;3), С(-1; 2). Определите вид треугольника. 3.. Треугольник АВС задан координатами вершин A(0;12), B(9;0),C(0;-12) Найдите длину медианы СМ треугольника.

1. Векторы и координаты

Рассмотрим задачи по геометрии, связанные с векторами и координатами на плоскости.

а) Нахождение координат вектора \(\overrightarrow{AB}\)

Чтобы найти координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), нужно из координат конца вектора (точка B) вычесть координаты начала вектора (точка A). Дано A(1; -2) и B(3; 6). Таким образом:

$$ \overrightarrow{AB} = (3 - 1; 6 - (-2)) = (2; 8) $$

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) равны (2; 8).

Ответ: (2; 8)

б) Разложение вектора \(\overrightarrow{AB}\) по координатным векторам \(\overrightarrow{i}\) и \(\overrightarrow{j}\)

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) с координатами (2; 8) можно разложить по координатным векторам \(\overrightarrow{i}\) (1; 0) и \(\overrightarrow{j}\) (0; 1) следующим образом:

$$ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j} $$

Это означает, что вектор \(\overrightarrow{AB}\) является суммой 2 единичных векторов \(\overrightarrow{i}\) и 8 единичных векторов \(\overrightarrow{j}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{j}\)

в) Нахождение длины вектора \(\overrightarrow{AB}\)

Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется по формуле:

$$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

где x и y — координаты вектора. В нашем случае x = 2, y = 8.

$$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} $$

Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна \(2\sqrt{17}\).

Ответ: \(2\sqrt{17}\)

г) Нахождение суммы векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\)

Сначала найдем координаты вектора \(\overrightarrow{BC}\), используя координаты точек B(3; 6) и C(5; -2):

$$ \overrightarrow{BC} = (5 - 3; -2 - 6) = (2; -8) $$

Теперь найдем сумму векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (2 + 2; 8 + (-8)) = (4; 0) $$

Сумма векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равна (4; 0).

Ответ: (4; 0)

д) Нахождение координат середины отрезка AB

Координаты середины отрезка AB находятся как среднее арифметическое координат концов отрезка. Если A(1; -2) и B(3; 6), то середина M имеет координаты:

$$ M = (\frac{1 + 3}{2}; \frac{-2 + 6}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{4}{2}) = (2; 2) $$

Координаты середины отрезка AB равны (2; 2).

Ответ: (2; 2)

2. Определение вида треугольника

Даны координаты вершин треугольника A(0; 3), B(-2; 3), C(-1; 2). Чтобы определить вид треугольника, нужно исследовать длины его сторон и углы между ними.

1. Длины сторон: $$ AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2 $$ $$ BC = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$ $$ AC = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$

2. Вид треугольника: Так как BC = AC, треугольник ABC является равнобедренным. Теперь проверим, является ли он прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $$ $$ 2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 $$ $$ 4 = 2 + 2 $$ $$ 4 = 4 $$

Поскольку теорема Пифагора выполняется, треугольник ABC является прямоугольным.

Итак, треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным.

3. Нахождение длины медианы CM треугольника

Даны координаты вершин треугольника A(0; 12), B(9; 0), C(0; -12). Нужно найти длину медианы CM, где M — середина стороны AB.

1. Координаты середины M стороны AB:

$$ M = (\frac{0 + 9}{2}; \frac{12 + 0}{2}) = (\frac{9}{2}; 6) $$

2. Длина медианы CM:

$$ CM = \sqrt{(0 - \frac{9}{2})^2 + (-12 - 6)^2} = \sqrt{(\frac{-9}{2})^2 + (-18)^2} $$ $$ CM = \sqrt{\frac{81}{4} + 324} = \sqrt{\frac{81 + 1296}{4}} = \sqrt{\frac{1377}{4}} = \frac{\sqrt{1377}}{2} $$

Длина медианы CM равна \(\frac{\sqrt{1377}}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{1377}}{2}\)