Контрольная работа по теме «ВЕКТОРЫ» Вариант 1 1. Имея координаты вектора f{2; -7}. Запишите разложение вектора в по единичным векторам и изобразите вектор. 2. Даны точки А (5; −3), В (2; 1). Найдите координаты вектора ВА И изобразите полученный вектор. 3. Найдите координаты точки М - середины отрезка АВ, если координаты точек А(-6; 6) и В(0; 8). Изобразите отрезок и укажите точку М. 4. Найдите длину векторов: с{-24; 24}, {−4;6}. 5. Даны векторы с{2; 3} и д{3; -6}. Укажите координаты вектора ё = 20 - 1 3 3 d.

1. Разложение вектора $$f$$ по единичным векторам:

Вектор $$f$$ с координатами $$(2; -7)$$ можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов $$\vec{i}$$ и $$\vec{j}$$. Разложение вектора $$f$$ будет выглядеть так:

$$\vec{f} = 2\vec{i} - 7\vec{j}$$

Изображение вектора:

Вектор начинается в начале координат (0;0) и заканчивается в точке (2;-7)

      |
      |
      |
      |---------> x
      |       2
------|------
      |  -7
      |    \  \    \      \   \    \    \    \
      |     \    \      \   \   \    \    \    \
      V
      y

2. Координаты вектора $$ВА$$:

Даны точки $$A(5; -3)$$ и $$B(2; 1)$$. Чтобы найти координаты вектора $$\vec{BA}$$, нужно из координат точки $$A$$ вычесть координаты точки $$B$$.

$$\vec{BA} = (5 - 2; -3 - 1) = (3; -4)$$

Изображение вектора:

      |
      |
      |---------------> x
      |        3
------|------
      |  -4
      |    \  \    \      \   \    \    \    \
      |     \    \      \   \   \    \    \    \
      V
      y

3. Координаты точки $$M$$:

Даны точки $$A(-6; 6)$$ и $$B(0; 8)$$. Точка $$M$$ является серединой отрезка $$AB$$. Координаты точки $$M$$ можно найти как среднее арифметическое координат точек $$A$$ и $$B$$.

$$M = (\frac{-6 + 0}{2}; \frac{6 + 8}{2}) = (\frac{-6}{2}; \frac{14}{2}) = (-3; 7)$$

Изображение отрезка и точки M:

      |
      |     B (0;8)
      |     *                 y
      |    /\    \       \        7
------|---*M(-3;7)------------------> x
      |  /   \   \          \      A(-6;6)
      | /     \  \           \       * 
      |
      y

4. Длина векторов:

Длина вектора $$\vec{c}\{-24; 24\}$$ вычисляется по формуле:

$$|\vec{c}| = \sqrt{(-24)^2 + (24)^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2}$$

Длина вектора $$\vec{e}\{-4; 6\}$$ вычисляется по формуле:

$$|\vec{e}| = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

5. Координаты вектора $$\vec{e} = 2\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d}$$:

Даны векторы $$\vec{c}\{2; 3\}$$ и $$\vec{d}\{3; -6\}$$.

Сначала найдем $$2\vec{c}$$:

$$2\vec{c} = 2(2; 3) = (4; 6)$$

Затем найдем $$\frac{1}{3}\vec{d}$$:

$$\frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{3}(3; -6) = (1; -2)$$

Теперь найдем $$\vec{e} = 2\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{d}$$:

$$\vec{e} = (4 - 1; 6 - (-2)) = (3; 8)$$

Ответ: 1. $$\vec{f} = 2\vec{i} - 7\vec{j}$$; 2. $$\vec{BA} = (3; -4)$$; 3. $$M(-3; 7)$$; 4. $$|\vec{c}| = 24\sqrt{2}$$, $$|\vec{e}| = 2\sqrt{13}$$; 5. $$\vec{e}(3; 8)$$