Контрольная работа по теме «Векторы» Вариант 1 Даны точки М (-2; -4), P (4; 4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK - 3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) BA + AC; 2) CA-CB; 3) BC + BA. Даны векторы т(р; 4) и п(20; -10). При каком значе- нии р векторы т и п: 1) коллинеарны; 2) перпендику- лярны? На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отмети- ли соответственно точки М и К так, что СM: MD=2:5, AK: KD = 1: 2. Выразите вектор МК через векторы АВ=а и AD = .

1. Векторы МК и РМ

Давай сначала найдем координаты векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\). Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала.

1. Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{MK}\):

   \[\overrightarrow{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M) = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (1; 7).\]

2. Теперь найдем координаты вектора \(\overrightarrow{PM}\):

   \[\overrightarrow{PM} = (x_M - x_P; y_M - y_P) = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8).\]

Ответ: \(\overrightarrow{MK} = (1; 7)\), \(\overrightarrow{PM} = (-6; -8)\)

2. Модули векторов МК и РМ

Теперь определим модули векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\). Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

1. Модуль вектора \(\overrightarrow{MK}\):

   \[|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.\]

2. Модуль вектора \(\overrightarrow{PM}\):

   \[|\overrightarrow{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]

Ответ: |\(\overrightarrow{MK}\)| = \(5\sqrt{2}\), |\(\overrightarrow{PM}\)| = 10

3. Координаты вектора EF = 2MK - 3PM

Найдём координаты вектора \(\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{MK} - 3\overrightarrow{PM}\). Сначала найдём координаты векторов \(2\overrightarrow{MK}\) и \(3\overrightarrow{PM}\).

1. Координаты вектора \(2\overrightarrow{MK}\):

   \[2\overrightarrow{MK} = 2(1; 7) = (2; 14).\]

2. Координаты вектора \(3\overrightarrow{PM}\):

   \[3\overrightarrow{PM} = 3(-6; -8) = (-18; -24).\]

3. Теперь найдём координаты вектора \(\overrightarrow{EF}\):

   \[\overrightarrow{EF} = (2; 14) - (-18; -24) = (2 + 18; 14 + 24) = (20; 38).\]

Ответ: \(\overrightarrow{EF} = (20; 38)\)

4. Скалярное произведение векторов МК и РМ

Определим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\). Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

\[\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM} = (1 \cdot (-6)) + (7 \cdot (-8)) = -6 - 56 = -62.\]

Ответ: -62

5. Косинус угла между векторами МК и РМ

Теперь найдем косинус угла между векторами \(\overrightarrow{MK}\) и \(\overrightarrow{PM}\). Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их модулей.

\[cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{MK}| \cdot |\overrightarrow{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = -\frac{31\sqrt{2}}{50}.\]

Ответ: \(-\frac{31\sqrt{2}}{50}\)

2. Построение вектора

Для решения этой задачи нам потребуется начертить треугольник ABC и построить векторы, о которых идёт речь в задании.

1. Вектор \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\):

   Сумма векторов \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\) равна вектору \(\overrightarrow{BC}\). По правилу треугольника, если от конца первого вектора отложен второй вектор, то суммой будет вектор, соединяющий начало первого и конец второго.

   \[\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.\]

2. Вектор \(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}\):

   Разность векторов \(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}\) равна вектору \(\overrightarrow{BA}\). Разность векторов, выходящих из одной точки, есть вектор, соединяющий концы этих векторов и направленный от вычитаемого к уменьшаемому.

   \[\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}.\]

3. Вектор \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}\):

   Вектор \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}\) можно представить как вектор \(\overrightarrow{BD}\), где точка D является вершиной параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BA}\).

   \[\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD}.\]

Ответ: 1) \(\overrightarrow{BC}\), 2) \(\overrightarrow{BA}\), 3) \(\overrightarrow{BD}\)

3. Коллинеарность и перпендикулярность векторов

Даны векторы \(\overrightarrow{m}(p; 4)\) и \(\overrightarrow{n}(20; -10)\). Нужно найти, при каком значении p векторы \(\overrightarrow{m}\) и \(\overrightarrow{n}\) коллинеарны и перпендикулярны.

1. Коллинеарность:

   Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

   \[\frac{p}{20} = \frac{4}{-10}.\]

   \[p = \frac{4 \cdot 20}{-10} = \frac{80}{-10} = -8.\]

2. Перпендикулярность:

   Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

   \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = p \cdot 20 + 4 \cdot (-10) = 0.\]

   \[20p - 40 = 0.\]

   \[20p = 40.\]

   \[p = \frac{40}{20} = 2.\]

Ответ: 1) p = -8 (коллинеарны), 2) p = 2 (перпендикулярны)

4. Выражение вектора через другие векторы

На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что CM : MD = 2 : 5, AK : KD = 1 : 2. Нужно выразить вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\).

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AM}\) через \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Поскольку \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}\), а \(\overrightarrow{DM} = \frac{5}{7}\overrightarrow{DC} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AB} = \frac{5}{7}\overrightarrow{a}\), то

   \[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \frac{5}{7}\overrightarrow{a}.\]

2. Выразим вектор \(\overrightarrow{AK}\) через \(\overrightarrow{b}\). Поскольку \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\), то

   \[\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}.\]

3. Найдём вектор \(\overrightarrow{MK}\) как \(\overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM}\):

   \[\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{b} + \frac{5}{7}\overrightarrow{a}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} - \frac{5}{7}\overrightarrow{a} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{b} - \frac{5}{7}\overrightarrow{a}.\]

Ответ: \(\overrightarrow{MK} = -\frac{5}{7}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)