Контрольная работа по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве». Вариант 1 1.1. Даны две параллельные плоскости а и в и не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость а в точках А1 и А2, а дальнюю плоскость в в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2-6см и PA1:A1B1=4:8. 2. Перекладина, длиной 5м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 7м и 4м. Каково расстояние между основаниями столбов? 3. Из вершины Д квадрата АВСД со стороной 2см к его плоскости проведён перпендикуляр ДК=2√3 см. Найдите площадь треугольника АВК.

Вариант 1

Задача 1.1

Дано: плоскости α || β, точка P между ними, A1, A2 ∈ α, B1, B2 ∈ β, A1A2 = 6 см, PA1:A1B1 = 4:8.

Найти: B1B2.

Решение:

Логика такая: Прямые A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, следовательно, треугольники PA1A2 и PB1B2 подобны. Используем отношение подобия для нахождения B1B2.

1. Определим коэффициент подобия k:

\[k = \frac{PB_1}{PA_1} = \frac{PA_1 + A_1B_1}{PA_1} = 1 + \frac{A_1B_1}{PA_1}\]

По условию PA1:A1B1 = 4:8, значит, \(\frac{A_1B_1}{PA_1} = \frac{8}{4} = 2\)

Тогда:

\[k = 1 + 2 = 3\]

2. Найдем B1B2, используя коэффициент подобия:

\[\frac{B_1B_2}{A_1A_2} = k\] \[B_1B_2 = k \cdot A_1A_2 = 3 \cdot 6 = 18\ \text{см}\]

Ответ: B1B2 = 18 см.

Задача 2

Дано: перекладина длиной 5 м, высота столбов 7 м и 4 м.

Найти: расстояние между основаниями столбов.

Решение:

Смотри, тут всё просто: Представим столбы и перекладину в виде прямоугольной трапеции. Проведем высоту из верхнего конца меньшего столба к большему, чтобы образовался прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора для нахождения расстояния между основаниями.

1. Разница в высоте столбов:

\[7 - 4 = 3\ \text{м}\]

2. Пусть расстояние между основаниями столбов равно x. Тогда по теореме Пифагора:

\[x^2 + 3^2 = 5^2\] \[x^2 = 25 - 9 = 16\] \[x = \sqrt{16} = 4\ \text{м}\]

Ответ: Расстояние между основаниями столбов равно 4 м.

Задача 3

Дано: квадрат ABCD, сторона 2 см, DK ⊥ (ABC), DK = 2√3 см.

Найти: площадь треугольника ABK.

Разбираемся:

Треугольник ABK является прямоугольным, так как DK перпендикулярен плоскости квадрата. Найдем площадь этого треугольника, используя известные стороны и высоту.

1. Площадь квадрата не нужна для решения задачи. Найдем AK по теореме Пифагора из треугольника ADK:

\[AK = \sqrt{AD^2 + DK^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\ \text{см}\]

2. Площадь треугольника ABK равна:

\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\ \text{см}^2\]

Ответ: Площадь треугольника ABK равна 4 см².

Проверка за 10 секунд: В первой задаче нашли B1B2 через подобие треугольников, во второй — расстояние между столбами по теореме Пифагора, в третьей — площадь треугольника ABK через AK и сторону квадрата.

Уровень Эксперт: Задачи на взаимное расположение плоскостей и прямых часто встречаются в стереометрии. Важно уметь применять теорему Пифагора и свойства подобия.