Контрольная работа по теме: "Неравенства. Системы уравнений". 1 вариант. 1. Решите методом подстановки систему уравнений 2. Решите методом сложения систему уравнений 3. Решите неравенство: 1) -5x > 15; 4) x²-4x-5 > 0; 2)3+x>7-x 4. Решите систему неравенств: 1) 4x-16<0, 3x + 12 > 0; 2) { 4x +11 > 31, 5-3x < 17. 5. Найдите множество решений неравенства: 1) 2x 5 x+4 10 + x-1 15 > 0; 8) x² > 16; 2) 3x + 12 > 2(4x - 3) – 5x.

1. Решите методом подстановки систему уравнений

\[ \begin{cases} 2x + y = 3, \\ 3x + 2y = 2. \end{cases} \] Шаг 1: Выразим y из первого уравнения: \[ y = 3 - 2x \] Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 3x + 2(3 - 2x) = 2 \] Шаг 3: Решим уравнение относительно x: \[ 3x + 6 - 4x = 2 \\ -x = -4 \\ x = 4 \] Шаг 4: Подставим значение x в выражение для y: \[ y = 3 - 2(4) \\ y = 3 - 8 \\ y = -5 \]

Ответ: x = 4, y = -5

2. Решите методом сложения систему уравнений

\[ \begin{cases} 4x + 5y = 2, \\ 3x - 5y = 19. \end{cases} \] Шаг 1: Сложим два уравнения, чтобы исключить y: \[ (4x + 5y) + (3x - 5y) = 2 + 19 \\ 7x = 21 \\ x = 3 \] Шаг 2: Подставим значение x в одно из уравнений, чтобы найти y (например, в первое уравнение): \[ 4(3) + 5y = 2 \\ 12 + 5y = 2 \\ 5y = -10 \\ y = -2 \]

Ответ: x = 3, y = -2

3. Решите неравенства:

1) -5x > 15

Шаг 1: Разделим обе части неравенства на -5 (не забываем изменить знак неравенства): \[ x < -3 \]

Ответ: x < -3

2) 3 + x > 7 - x

Шаг 1: Перенесем x в одну сторону, числа в другую: \[ x + x > 7 - 3 \\ 2x > 4 \\ x > 2 \]

Ответ: x > 2

3) x² > 16

Шаг 1: Найдем корни уравнения x² = 16: \[ x = \pm 4 \] Шаг 2: Определим интервалы, в которых выполняется неравенство x² > 16: \[ x < -4 \text{ или } x > 4 \]

Ответ: x < -4 или x > 4

4) x² - 4x - 5 > 0

Шаг 1: Решим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0: \[ D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \] \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Шаг 2: Определим интервалы, в которых выполняется неравенство x² - 4x - 5 > 0: \[ x < -1 \text{ или } x > 5 \]

Ответ: x < -1 или x > 5

4. Решите систему неравенств:

1)

\[ \begin{cases} 4x - 16 < 0, \\ 3x + 12 > 0. \end{cases} \] Шаг 1: Решим первое неравенство: \[ 4x < 16 \\ x < 4 \] Шаг 2: Решим второе неравенство: \[ 3x > -12 \\ x > -4 \] Шаг 3: Найдем пересечение решений: \[ -4 < x < 4 \]

Ответ: -4 < x < 4

2)

\[ \begin{cases} 4x + 11 > 31, \\ 5 - 3x < 17. \end{cases} \] Шаг 1: Решим первое неравенство: \[ 4x > 20 \\ x > 5 \] Шаг 2: Решим второе неравенство: \[ -3x < 12 \\ x > -4 \] Шаг 3: Найдем пересечение решений: \[ x > 5 \]

Ответ: x > 5

5. Найдите множество решений неравенства:

1) \(\frac{2x}{5} - \frac{x+4}{10} + \frac{x-1}{15} > 0\)

Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю (30): \[ \frac{12x}{30} - \frac{3(x+4)}{30} + \frac{2(x-1)}{30} > 0 \] Шаг 2: Упростим выражение: \[ 12x - 3x - 12 + 2x - 2 > 0 \\ 11x - 14 > 0 \\ 11x > 14 \\ x > \frac{14}{11} \]

Ответ: x > \(\frac{14}{11}\)

2) 3x + 12 > 2(4x - 3) – 5x

Шаг 1: Раскроем скобки и упростим выражение: \[ 3x + 12 > 8x - 6 - 5x \\ 3x + 12 > 3x - 6 \\ 12 > -6 \] Так как это неравенство всегда верно, то решением является любое число.

Ответ: x ∈ ℝ (любое число)