Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа по теме «Системы уравнений» В.2 21. Решите систему уравнении 2 (x² - 3y² = 4 методом подстановки x + y = 6 №2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 2 (x² - 2y² = -4 (x² + 2y² = 12 №3. Решите систему уравнений (4x + y = 10 (x + 3y = -3 №4. Площадь прямоугольника равна 36см², а его периметр - 24см. Найдите стороны прямоугольника. №5. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, его гипотенуза равна 20см. Найдите катеты данного прямоугольного треугольника.
Ответ:
Привет! Сейчас решим эти задания. Будет немного сложно, но я уверена, что мы справимся!
№1. Решите систему уравнений методом подстановки:
\[\begin{cases}
x^2 - 3y^2 = 4 \\
x + y = 6
\end{cases}\]
Выразим x из второго уравнения:
\[x = 6 - y\]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[(6 - y)^2 - 3y^2 = 4\]
Раскроем скобки и упростим:
\[36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4\]
\[-2y^2 - 12y + 32 = 0\]
Разделим на -2:
\[y^2 + 6y - 16 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\]
\[y_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = 2\]
\[y_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = -8\]
Найдем соответствующие значения x:
\[x_1 = 6 - y_1 = 6 - 2 = 4\]
\[x_2 = 6 - y_2 = 6 - (-8) = 14\]
Решение: (4, 2) и (14, -8)
№2. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
\[\begin{cases}
x^2 - 2y^2 = -4 \\
x^2 + 2y^2 = 12
\end{cases}\]
Сложим два уравнения:
\[2x^2 = 8\]
\[x^2 = 4\]
\[x = \pm 2\]
Теперь найдем y:
Для x = 2:
\[2^2 + 2y^2 = 12\]
\[4 + 2y^2 = 12\]
\[2y^2 = 8\]
\[y^2 = 4\]
\[y = \pm 2\]
Для x = -2:
\[(-2)^2 + 2y^2 = 12\]
\[4 + 2y^2 = 12\]
\[2y^2 = 8\]
\[y^2 = 4\]
\[y = \pm 2\]
Решение: (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2)
№3. Решите систему уравнений:
\[\begin{cases}
4x + y = 10 \\
x + 3y = -3
\end{cases}\]
Умножим второе уравнение на -4:
\[\begin{cases}
4x + y = 10 \\
-4x - 12y = 12
\end{cases}\]
Сложим два уравнения:
\[-11y = 22\]
\[y = -2\]
Подставим значение y в первое уравнение:
\[4x + (-2) = 10\]
\[4x = 12\]
\[x = 3\]
Решение: (3, -2)
№4. Площадь прямоугольника равна 36 см², а его периметр - 24 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда:
\[\begin{cases}
ab = 36 \\
2(a + b) = 24
\end{cases}\]
Из второго уравнения выразим a + b:
\[a + b = 12\]
Выразим a:
\[a = 12 - b\]
Подставим в первое уравнение:
\[(12 - b)b = 36\]
\[12b - b^2 = 36\]
\[b^2 - 12b + 36 = 0\]
\[(b - 6)^2 = 0\]
\[b = 6\]
Тогда:
\[a = 12 - 6 = 6\]
Решение: Стороны прямоугольника равны 6 см и 6 см (это квадрат).
№5. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, его гипотенуза равна 20 см. Найдите катеты данного прямоугольного треугольника.
Пусть a и b - катеты треугольника. Тогда:
\[\begin{cases}
a + b + 20 = 48 \\
a^2 + b^2 = 20^2
\end{cases}\]
Из первого уравнения:
\[a + b = 28\]
\[b = 28 - a\]
Подставим во второе уравнение:
\[a^2 + (28 - a)^2 = 400\]
\[a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400\]
\[2a^2 - 56a + 384 = 0\]
Разделим на 2:
\[a^2 - 28a + 192 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16\]
\[a_1 = \frac{28 + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = 16\]
\[a_2 = \frac{28 - \sqrt{16}}{2} = \frac{28 - 4}{2} = 12\]
Найдем соответствующие значения b:
\[b_1 = 28 - a_1 = 28 - 16 = 12\]
\[b_2 = 28 - a_2 = 28 - 12 = 16\]
Решение: Катеты треугольника равны 12 см и 16 см.
Ответ: №1: (4, 2) и (14, -8), №2: (2, 2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2), №3: (3, -2), №4: 6 и 6, №5: 12 и 16
Ты молодец! У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе!
