Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 25 см и 60см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 14, а диагональ - 50. Найдите другую сторону прямоугольника и его площадь. 3. Найдите тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, AB =17. 4. Найдите высоту и площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см. 5. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. 6. Найдите sin O, cos 0, tg 0, если

Задача 1:

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 25 см и 60 см.

По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

• Шаг 1: Подставляем значения катетов: \(c^2 = 25^2 + 60^2\)
• Шаг 2: Вычисляем квадраты: \(c^2 = 625 + 3600\)
• Шаг 3: Складываем: \(c^2 = 4225\)
• Шаг 4: Извлекаем квадратный корень: \(c = \sqrt{4225} = 65\)

Гипотенуза равна 65 см.

Ответ: 65 см

Задача 2:

Дана сторона прямоугольника 14 и диагональ 50. Найти другую сторону и площадь.

• Шаг 1: Находим другую сторону по теореме Пифагора: \(b^2 = d^2 - a^2\), где \(d\) - диагональ, \(a\) - известная сторона, \(b\) - другая сторона.
• Шаг 2: Подставляем значения: \(b^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304\)
• Шаг 3: Извлекаем квадратный корень: \(b = \sqrt{2304} = 48\)
• Шаг 4: Находим площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b = 14 \cdot 48 = 672\)

Другая сторона равна 48, площадь равна 672.

Ответ: Другая сторона: 48, Площадь: 672

Задача 3:

Найти тангенс угла A в треугольнике ABC с прямым углом C, если BC = 8 и AB = 17.

• Шаг 1: Находим сторону AC по теореме Пифагора: \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\)
• Шаг 2: Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(tg(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\)

Тангенс угла A равен \(\frac{8}{15}\).

Ответ: 8/15

Задача 4:

Найти высоту и площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

• Шаг 1: Высота равностороннего треугольника: \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)
• Шаг 2: Площадь равностороннего треугольника: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\)

Высота равна \(3\sqrt{3}\), площадь равна \(9\sqrt{3}\).

Ответ: Высота: 3\(\sqrt{3}\), Площадь: 9\(\sqrt{3}\)

Задача 5:

Найти площадь равнобедренной трапеции с основаниями 5 см и 17 см и боковой стороной 10 см.

• Шаг 1: Находим высоту трапеции. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Получаем прямоугольник и два прямоугольных треугольника.
• Шаг 2: Разница между основаниями: \(\frac{17 - 5}{2} = 6\) - это катет прямоугольного треугольника.
• Шаг 3: Находим высоту по теореме Пифагора: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\)
• Шаг 4: Площадь трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88\)

Площадь равна 88.

Ответ: 88

Задача 6:

Найти \(\sin O\), \(\cos O\), \(\tan O\) для данного треугольника.

Предположим, что дан прямоугольный треугольник с углом O, где противолежащий катет равен B, а прилежащий катет равен A.

Недостаточно данных для точного определения значений, но можем выразить тригонометрические функции через стороны треугольника.

• Пусть OB = x, BA = y, OA = z. Тогда:
• \(\sin O = \frac{y}{x}\)
• \(\cos O = \frac{z}{x}\)
• \(\tan O = \frac{y}{z}\)

Ответ: sin O = y/x, cos O = z/x, tg O = y/z