Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Вариант 1 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см. 2. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 15:8. 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, а основание 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к основанию. 4. Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей 10 см. Найдите вторую диагональ ромба. 5. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите: 1) синус угла, противолежащего меньшему катету; 2) косинус угла, прилежащего к большему катету; 3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету. 6. Найдите sina, tga и ctga, если cosa = 1/4.

Ответ: 1. 10 см; 2. 30 см и 16 см; 3. \(\sqrt{40}\) см; 4. 24 см; 5. 1) 5/13; 2) 12/13; 3) 5/12; 6. sinα = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\), tgα = \(\sqrt{15}\), ctgα = \(\frac{1}{\sqrt{15}}\)

Решение:

Задача 1: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см.

• По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.
• \(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
• \(c = \sqrt{100} = 10\) см

Задача 2: Диагональ прямоугольника равна 34 см, длины сторон относятся как 15:8.

• Пусть стороны прямоугольника 15x и 8x.
• По теореме Пифагора: \((15x)^2 + (8x)^2 = 34^2\)
• \(225x^2 + 64x^2 = 1156\)
• \(289x^2 = 1156\)
• \(x^2 = 4\)
• \(x = 2\)
• Стороны прямоугольника: 15 * 2 = 30 см и 8 * 2 = 16 см.

Задача 3: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7 см, основание 6 см. Найти высоту, проведенную к основанию.

• Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является медианой и делит основание пополам.
• Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 7 см и катетом 3 см.
• Высота: \(h = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40}\) см.

Задача 4: Сторона ромба равна 13 см, одна из диагоналей 10 см. Найти вторую диагональ.

• Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
• Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см.
• Второй катет (половина второй диагонали): \(d/2 = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.
• Вторая диагональ: 12 * 2 = 24 см.

Задача 5: Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 5 см и 13 см. Найти синус, косинус и тангенс угла, противолежащего меньшему катету.

• Второй катет: \(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.
• Синус угла, противолежащего меньшему катету: \(sin α = \frac{5}{13}\)
• Косинус угла, прилежащего к большему катету: \(cos α = \frac{12}{13}\)
• Тангенс угла, противолежащего меньшему катету: \(tg α = \frac{5}{12}\)

Задача 6: Найти sinα, tgα и ctgα, если cosα = 1/4.

• \(sin^2 α + cos^2 α = 1\)
• \(sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\)
• \(sin α = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)
• \(tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}\)
• \(ctg α = \frac{1}{tg α} = \frac{1}{\sqrt{15}}\)

Ответ: 1. 10 см; 2. 30 см и 16 см; 3. \(\sqrt{40}\) см; 4. 24 см; 5. 1) 5/13; 2) 12/13; 3) 5/12; 6. sinα = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\), tgα = \(\sqrt{15}\), ctgα = \(\frac{1}{\sqrt{15}}\)