Контрольная работа по теме «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения.» 1. Решите уравнение: Вариант 1 1) 5x² - 10 = 0; 3) x² + 6x - 7 = 0; 5) x² - 3x + 1 = 0; 2) 3x² + 4x = 0; 4) 3x² + 7x + 2 = 0; 6) x² - x + 3 = 0. 2. Решите уравнение: x² 2 12-x 6 5 + a) x²-9 x²-9;6) X-2 x = 3. 3. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см². 2 4. Число -6 является корнем уравнения 2x² + bx - 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение в. 5. Известно, что х₁ И Х2 2 корни уравнения х² - 14х + 5 = 0. Не решая 2 уравнения, найдите значение выражения *+*. Вариант 2 1. Решите уравнение: 2 1) 3x² - 15 = 0; 3) x² + 8x-9 = 0; 5) x2 - 6x − 3 = 0; 2 2) 4x² - 7x = 0; 4) 12x² - 5x - 2 = 0; 6) x² - 3x + 11 = 0. 2. Решите уравнение: 3x+4 x² 2 3 8 +-+ a) x²-16 x²-16;6) x-5 x = 2. 3. Одна из сторон прямоугольника на 5 см меньше другой. Найдите стороны 2

Решение заданий варианта 1: 1. Решите уравнение: 1) \(5x^2 - 10 = 0\) \(5x^2 = 10\) \(x^2 = 2\) \(x = \pm\sqrt{2}\) 2) \(3x^2 + 4x = 0\) \(x(3x + 4) = 0\) \(x = 0\) или \(3x + 4 = 0\) \(x = 0\) или \(x = -\frac{4}{3}\) 3) \(x^2 + 6x - 7 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -6\) \(x_1 \cdot x_2 = -7\) \(x_1 = 1, x_2 = -7\) 4) \(3x^2 + 7x + 2 = 0\) Дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\) \(x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 5}{6}\) \(x_1 = \frac{-7 + 5}{6} = -\frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{-7 - 5}{6} = -2\) 5) \(x^2 - 3x + 1 = 0\) Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\) \(x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\) 6) \(x^2 - x + 3 = 0\) Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11\) Действительных корней нет. 2. Решите уравнение: a) \(\frac{x^2}{x^2 - 9} = \frac{12 - x}{x^2 - 9}\) \(x^2 = 12 - x\) \(x^2 + x - 12 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -1\) \(x_1 \cdot x_2 = -12\) \(x_1 = 3, x_2 = -4\) Но \(x
eq \pm 3\), поэтому \(x = -4\). б) \(\frac{6}{x - 2} + \frac{5}{x} = 3\) \(\frac{6x + 5(x - 2)}{x(x - 2)} = 3\) \(6x + 5x - 10 = 3x(x - 2)\) \(11x - 10 = 3x^2 - 6x\) \(3x^2 - 17x + 10 = 0\) Дискриминант: \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\) \(x = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm 13}{6}\) \(x_1 = \frac{17 + 13}{6} = 5\) \(x_2 = \frac{17 - 13}{6} = \frac{2}{3}\) Но \(x
eq 2\), поэтому оба корня подходят. 3. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см². Пусть одна сторона \(x\), тогда другая \(x + 7\). Площадь: \(x(x + 7) = 44\) \(x^2 + 7x - 44 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -7\) \(x_1 \cdot x_2 = -44\) \(x_1 = 4, x_2 = -11\) Так как сторона не может быть отрицательной, то \(x = 4\). Тогда стороны: 4 см и 11 см. 4. Число -6 является корнем уравнения \(2x^2 + bx - 6 = 0\). Найдите второй корень уравнения и значение b. Подставим \(x = -6\) в уравнение: \(2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0\) \(2(36) - 6b - 6 = 0\) \(72 - 6b - 6 = 0\) \(66 = 6b\) \(b = 11\) Теперь уравнение: \(2x^2 + 11x - 6 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -\frac{11}{2}\) \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{6}{2} = -3\) Известно, что \(x_1 = -6\), тогда \(-6 + x_2 = -\frac{11}{2}\) \(x_2 = -\frac{11}{2} + 6 = \frac{-11 + 12}{2} = \frac{1}{2}\) Второй корень: \(\frac{1}{2}\) 5. Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(x^2 - 14x + 5 = 0\). Не решая уравнения, найдите значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\). По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 14\) \(x_1 \cdot x_2 = 5\) \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 14^2 - 2(5) = 196 - 10 = 186\)

Ответ: Решения выше