02.02.26 Контрольная работа по теше и А-8, «Квадратные уравнения», B-1. 1°. Решите уравнение: a) 7x2-9x + 2 = 0; 6) 5x2 = 12x; в) 7х2 - 28 = 0; г) х² + 20x + 91 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. В уравнении х² + рх + 56 = 0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент р. 4. Решить уравнение x2 3x+4 a) 2-16x2-16 ; 5. Решить уравнение. (3x+2)2=7x - 9

Привет! Давай вместе решим эти уравнения и задачи.

1. Решение уравнений:

a) 7x² - 9x + 2 = 0;

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.

В данном случае a = 7, b = -9, c = 2.

D = (-9)² - 4 * 7 * 2 = 81 - 56 = 25.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (9 + √25) / (2 * 7) = (9 + 5) / 14 = 14 / 14 = 1;

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (9 - √25) / (2 * 7) = (9 - 5) / 14 = 4 / 14 = 2 / 7.

б) 5x² = 12x;

Перенесем все в одну сторону: 5x² - 12x = 0.

Вынесем x за скобки: x(5x - 12) = 0.

Тогда x₁ = 0 или 5x - 12 = 0.

5x = 12;

x₂ = 12 / 5 = 2.4.

в) 7x² - 28 = 0;

7x² = 28;

x² = 28 / 7 = 4.

x₁ = √4 = 2;

x₂ = -√4 = -2.

г) x² + 20x + 91 = 0.

Используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.

В данном случае a = 1, b = 20, c = 91.

D = (20)² - 4 * 1 * 91 = 400 - 364 = 36.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-20 + √36) / (2 * 1) = (-20 + 6) / 2 = -14 / 2 = -7;

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-20 - √36) / (2 * 1) = (-20 - 6) / 2 = -26 / 2 = -13.

2. Задача про прямоугольник:

Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b - длины сторон прямоугольника.

Периметр P = 2(a + b) = 26, следовательно, a + b = 13.

Площадь S = a * b = 36.

Выразим b из первого уравнения: b = 13 - a.

Подставим во второе уравнение: a * (13 - a) = 36.

13a - a² = 36;

a² - 13a + 36 = 0.

Решим квадратное уравнение относительно a:

D = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25.

a₁ = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9;

a₂ = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4.

Если a = 9, то b = 13 - 9 = 4.

Если a = 4, то b = 13 - 4 = 9.

Таким образом, длины сторон прямоугольника равны 4 см и 9 см.

3. Уравнение x² + px + 56 = 0

Один из корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть x₁ = -4 - один из корней уравнения x² + px + 56 = 0.

Подставим x₁ в уравнение: (-4)² + p * (-4) + 56 = 0;

16 - 4p + 56 = 0;

-4p = -72;

p = -72 / -4 = 18.

Теперь уравнение имеет вид: x² + 18x + 56 = 0.

Чтобы найти второй корень x₂, можно воспользоваться теоремой Виета:

x₁ * x₂ = c / a = 56 / 1 = 56.

Так как x₁ = -4, то -4 * x₂ = 56;

x₂ = 56 / -4 = -14.

Итак, другой корень уравнения равен -14, а коэффициент p равен 18.

4. Решить уравнение: (3x+4)/(x²-16) = x²/(x²-16)

a) (3x+4)/(x²-16) = x²/(x²-16)

Умножим обе части уравнения на (x²-16), предполагая, что x² ≠ 16 (т.е. x ≠ ±4):

3x + 4 = x²

x² - 3x - 4 = 0

Решим квадратное уравнение: D = b² - 4ac = (-3)² - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25

x₁ = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Однако x ≠ ±4, значит x₁ = 4 не является решением.

Итак, решение x = -1.

5. Решить уравнение: (3x+2)² = 7x - 9

(3x + 2)² = 7x - 9

9x² + 12x + 4 = 7x - 9

9x² + 12x - 7x + 4 + 9 = 0

9x² + 5x + 13 = 0

D = b² - 4ac = (5)² - 4 * 9 * 13 = 25 - 468 = -443

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: a) x₁ = 1, x₂ = 2/7; б) x₁ = 0, x₂ = 2.4; в) x₁ = 2, x₂ = -2; г) x₁ = -7, x₂ = -13; 2. 4 см и 9 см; 3. Другой корень: -14, коэффициент p = 18; 4. x = -1; 5. Нет действительных корней