Контрольная работа «Приложение производной» 1. Вычислить пределы функций с помощью правила Лопиталя. 3 1-6x-1+2x 1 x 1. 1) lim ; 2) lim x→0 sin² x x→1\ln x - \ln x x.arctgx 1 1 2. 1) lim ; 2) lim x→0 In cos x x→1\ln x x-1 cos 3x - ex2 1 3. 1) lim -; 2) lim ctgx - x→0 arctg25x x→0 x 1 + x² - cos4x ctg2x 4. 1) lim ; 2) lim x→0+0 ln x x→0 ln² (1 + x)

Ответы:

1. 1) \[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-6x} - 1 + 2x}{\sin^2 x}\]

   Краткое пояснение: Применим правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида 0/0.

   Показать пошаговые вычисления

   1. Проверим, что предел имеет неопределенность вида 0/0:

      \[\lim_{x \to 0} (\sqrt[3]{1-6x} - 1 + 2x) = \sqrt[3]{1} - 1 + 0 = 0\]

      \[\lim_{x \to 0} \sin^2 x = 0\]

      Неопределенность 0/0 подтверждена.

   2. Применим правило Лопиталя, взяв производные числителя и знаменателя:

      \[\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt[3]{1-6x} - 1 + 2x)}{\frac{d}{dx}(\sin^2 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(1-6x)^{-2/3}(-6) + 2}{2\sin x \cos x}\]

      \[= \lim_{x \to 0} \frac{-2(1-6x)^{-2/3} + 2}{2\sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1-6x)^{-2/3}}{\sin x \cos x}\]

   3. Снова получаем неопределенность 0/0, применим правило Лопиталя еще раз:

      \[\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1 - (1-6x)^{-2/3})}{\frac{d}{dx}(\sin x \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2}{3}(1-6x)^{-5/3}(-6)}{(\cos^2 x - \sin^2 x)}\]

      \[= \lim_{x \to 0} \frac{-4(1-6x)^{-5/3}}{(\cos^2 x - \sin^2 x)} = \frac{-4}{(\cos^2 0 - \sin^2 0)} = \frac{-4}{1} = -4\]

   Ответ: -4

2. 2) \[\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{x}{\ln x})\]

   Краткое пояснение: Преобразуем выражение, чтобы применить правило Лопиталя для неопределенности вида 0/0.

   Показать пошаговые вычисления

   1. Преобразуем выражение:

      \[\lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{x}{\ln x}) = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln x}\]

   2. Проверим, что предел имеет неопределенность вида 0/0:

      \[\lim_{x \to 1} (1 - x) = 1 - 1 = 0\]

      \[\lim_{x \to 1} \ln x = \ln 1 = 0\]

      Неопределенность 0/0 подтверждена.

   3. Применим правило Лопиталя, взяв производные числителя и знаменателя:

      \[\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(1 - x)}{\frac{d}{dx}(\ln x)} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} -x = -1\]

   Ответ: -1

Ответ: -4