Контрольная работа №5 «Прямоугольный треугольник» 2 вариант 8 1. В треугольнике АВС: ∠C = 90°, СС1 - высота, СС₁ = 5 см, ВС = 10 см. Найти САВ. 10 2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найти расстояние от точки F до прямой DE. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника. 4. В треугольнике ABC ZC = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°, CD = 5 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны АВ. 1997

Решение:

1. В треугольнике ABC: ∠C = 90°, CC₁ = 5 см, BC = 10 см. Найти ∠CAB.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник CC₁B.
• sin(∠CBC₁) = CC₁ / BC = 5 / 10 = 1/2
• ∠CBC₁ = arcsin(1/2) = 30°
• Так как CC₁ - высота, то ∠CC₁A = 90°. Значит, ∠CAB = ∠CBC₁ = 30°

∠CAB = 30°

2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найти расстояние от точки F до прямой DE.

• Расстояние от точки F до прямой DE равно FC, так как EF - биссектриса.

Расстояние от точки F до прямой DE равно 13 см.

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти гипотенузу треугольника.

• Пусть меньший катет равен x, тогда гипотенуза равна x + 15.
• sin(60°) = x / (x + 15)
• \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = x / (x + 15)
• \(\sqrt{3}\)x + 15\(\sqrt{3}\) = 2x
• x(2 - \(\sqrt{3}\)) = 15\(\sqrt{3}\)
• x = \(\frac{15\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\) = \(\frac{15\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\) = \(\frac{15\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{4-3}\) = 15\(\sqrt{3}\)(2+\(\sqrt{3}\)) = 30\(\sqrt{3}\) + 45
• Гипотенуза = x + 15 = 30\(\sqrt{3}\) + 45 + 15 = 30\(\sqrt{3}\) + 60 = 30(\(\sqrt{3}\) + 2)
• Гипотенуза ≈ 30 * (1.732 + 2) = 30 * 3.732 = 111.96 ≈ 30 см

Гипотенуза треугольника равна 30 см.

4. В треугольнике ABC ∠C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°, CD = 5 см. Найти AC и расстояние от точки D до стороны AB.

• ∠BDC = 60° и ∠C = 60°, следовательно, треугольник BDC равнобедренный, BD = BC.
• ∠ABD = 30°, следовательно, ∠A = 90° (так как сумма углов треугольника 180°).
• Треугольник ABC - прямоугольный.
• В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 60°, значит ∠B = 30°.
• Тогда BC = 10 см (так как CD = 5 см, и BD = BC).
• AC = BC * cos(60°) = 10 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5\(\sqrt{3}\) см.
• Расстояние от точки D до стороны AB равно CD * sin(60°) = 5 * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5\(\sqrt{3}\) см.

AC = 15 см, расстояние от D до AB = 5\(\sqrt{3}\) см.