Контрольная работа №1 «Решение треугольников» 1 вариант 1) Найти площадь треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. 2) Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, угол между ними 60°. Найти третью сторону треугольника и его площадь. 3) В треугольнике АВС АС = 0,59 дм, LA = 40°, LC = 35°. Вычислить ВС. 4) Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найти наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей. 5) (дополн.) Острый угол ромба равен 45°, а его площадь равна 8√2 см². Найти сторону ромба. 6) (дополн.) Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при основании 150.

1 вариант

1) Найти площадь треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см.

Решение:

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника.

Найдем полупериметр:

$$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = 8 \text{ см}$$

Подставим значения в формулу Герона:

$$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}^2$$

Ответ: 12 см²

2) Две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, угол между ними 60°. Найти третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Пусть $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 4 \text{ см}$$, $$\gamma = 60^\circ$$. Тогда третью сторону $$c$$ найдем по теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{60^\circ} = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21$$ $$c = \sqrt{21} \text{ см}$$

Площадь треугольника найдем по формуле:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{60^\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ:$$\sqrt{21} \text{ см}$$, $$5\sqrt{3} \text{ см}^2$$

3) В треугольнике АВС АС = 0,59 дм, LA = 40°, LC = 35°. Вычислить ВС.

Решение:

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$

Угол В = 180° - (40° + 35°) = 105°

$$BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{5.9 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 105^\circ} \approx \frac{5.9 \cdot 0.64}{0.97} \approx 3.89 \text{ дм}$$

Ответ: 3,89 дм

4) Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найти наибольшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Решение:

Пусть $$a = 10 \text{ см}$$, $$b = 17 \text{ см}$$, $$c = 21 \text{ см}$$.

Найдем полупериметр:

$$p = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}$$

Площадь треугольника:

$$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \sqrt{2} = 42 \sqrt{2} \text{ см}^2$$

Высота треугольника: $$h = \frac{2S}{a}$$, где $$a$$ - сторона, к которой проведена высота.

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, т.е. к стороне 10 см.

$$h = \frac{2 \cdot 42 \sqrt{2}}{10} = \frac{42 \sqrt{2}}{5} \approx 11.88 \text{ см}$$

Радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{42\sqrt{2}}{24} = \frac{7\sqrt{2}}{4} \approx 2.47 \text{ см}$$

Радиус описанной окружности:

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 42\sqrt{2}} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{168\sqrt{2}} = \frac{17 \cdot 5}{4\sqrt{2}} = \frac{85}{4\sqrt{2}} = \frac{85\sqrt{2}}{8} \approx 15.02 \text{ см}$$

Ответ: наибольшая высота $$11.88 \text{ см}$$, радиус вписанной окружности $$2.47 \text{ см}$$, радиус описанной окружности $$15.02 \text{ см}$$

5) (дополн.) Острый угол ромба равен 45°, а его площадь равна 8√2 см². Найти сторону ромба.

Решение:

Площадь ромба $$S = a^2 \sin{\alpha}$$, где $$a$$ - сторона ромба, $$\alpha$$ - угол ромба.

$$a^2 = \frac{S}{\sin{\alpha}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin{45^\circ}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$$ $$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Ответ: 4 см

6) (дополн.) Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при основании 150.

Решение:

Угол при основании не может быть 150 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Вероятно, угол при вершине 150 градусов.

Пусть $$a = 6 \text{ см}$$ - боковая сторона, $$\alpha = 150^\circ$$ - угол между боковыми сторонами. Тогда площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} a^2 \sin{\alpha} = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin{150^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ см}^2$$

Ответ: 9 см²