Контрольная работа, » Решение треугольников" П вариант. 1. Диагонали параллелограмма pabur 18 см и 26 см Найдите стороны паралелограмма, или Они относятся как 1:2. 2. В треугольнике сторока а = 35 cm и два угла В=40°, f=120°. Hairgume третий употреуголь другими стороны треугольника. 3. В треугольнике даны две сторона в = Ісм, с = 17 см и угол между ними L = 95° найдите другие два ула и третью сторону. 4. Дана три сторона треугольника. a = 23 cui, b= 17см, С = 39см Найдите углы треугольника.

1. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см. Найдите стороны параллелограмма, если они относятся как 1:2. Пусть стороны параллелограмма будут $$x$$ и $$2x$$. По свойству параллелограмма, сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон: $$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$ В нашем случае: $$18^2 + 26^2 = 2(x^2 + (2x)^2)$$ $$324 + 676 = 2(x^2 + 4x^2)$$ $$1000 = 2(5x^2)$$ $$1000 = 10x^2$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10$$ Тогда стороны параллелограмма будут 10 см и 20 см. Ответ: 10 см, 20 см 2. В треугольнике сторона $$a = 35$$ см и два угла $$\beta=40^\circ$$, $$\gamma=120^\circ$$. Найдите третий угол и другие две стороны треугольника. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$. Поэтому третий угол $$\alpha$$ равен: $$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ$$ Теперь, используя теорему синусов, найдем две другие стороны $$b$$ и $$c$$: $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$ $$\frac{35}{\sin 20^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 120^\circ}$$ $$b = \frac{35 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} \approx \frac{35 \cdot 0.6428}{0.3420} \approx 65.77 \text{ см}$$ $$c = \frac{35 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 20^\circ} \approx \frac{35 \cdot 0.8660}{0.3420} \approx 88.64 \text{ см}$$ Ответ:$$\alpha = 20^\circ$$, $$b \approx 65.77$$ см, $$c \approx 88.64$$ см 3. В треугольнике даны две стороны $$b=9$$ см, $$c=17$$ см и угол между ними $$\alpha = 95^\circ$$. Найдите другие два угла и третью сторону. Сначала найдем третью сторону $$a$$ по теореме косинусов: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$$ $$a^2 = 9^2 + 17^2 - 2 \cdot 9 \cdot 17 \cdot \cos 95^\circ$$ $$a^2 = 81 + 289 - 306 \cdot (-0.0872)$$ $$a^2 = 370 + 26.6832 \approx 396.6832$$ $$a \approx \sqrt{396.6832} \approx 19.92 \text{ см}$$ Теперь найдем углы $$\beta$$ и $$\gamma$$ по теореме синусов: $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$ $$\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} = \frac{9 \cdot \sin 95^\circ}{19.92} \approx \frac{9 \cdot 0.9962}{19.92} \approx 0.4501$$ $$\beta \approx \arcsin 0.4501 \approx 26.75^\circ$$ $$\sin \gamma = \frac{c \cdot \sin \alpha}{a} = \frac{17 \cdot \sin 95^\circ}{19.92} \approx \frac{17 \cdot 0.9962}{19.92} \approx 0.8501$$ $$\gamma \approx \arcsin 0.8501 \approx 58.22^\circ$$ Ответ: $$a \approx 19.92$$ см, $$\beta \approx 26.75^\circ$$, $$\gamma \approx 58.22^\circ$$ 4. Дана три стороны треугольника: $$a=23$$ см, $$b=17$$ см, $$c=39$$ см. Найдите углы треугольника. Используем теорему косинусов для нахождения углов: $$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{17^2 + 39^2 - 23^2}{2 \cdot 17 \cdot 39} = \frac{289 + 1521 - 529}{1326} = \frac{1281}{1326} \approx 0.9661$$ $$\alpha = \arccos 0.9661 \approx 15.06^\circ$$ $$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{23^2 + 39^2 - 17^2}{2 \cdot 23 \cdot 39} = \frac{529 + 1521 - 289}{1794} = \frac{1761}{1794} \approx 0.9816$$ $$\beta = \arccos 0.9816 \approx 10.99^\circ$$ $$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{23^2 + 17^2 - 39^2}{2 \cdot 23 \cdot 17} = \frac{529 + 289 - 1521}{782} = \frac{-703}{782} \approx -0.8989$$ $$\gamma = \arccos -0.8989 \approx 154.03^\circ$$ Ответ: $$\alpha \approx 15.06^\circ$$, $$\beta \approx 10.99^\circ$$, $$\gamma \approx 154.03^\circ$$