Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа Тема: Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости Вариант 1 № 1. Из точки D, которая лежит вне плоскости а, проведены к этой плоскости наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на плоскость а, если DB = 10√3 см. № 2. Точка А принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на 8 см. Найдите расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна 45°. № 3. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК= 8 см. №4. Концы отрезка, длина которого равна 5√5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. №5. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 26 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Ответ:
Привет! Сейчас мы вместе решим эту контрольную работу. Не переживай, я помогу тебе разобраться в каждом шаге!
№1
Давай разберем эту задачу по порядку. Нам нужно найти длину проекции наклонной DK на плоскость α. Обозначим проекцию DK как DК'.
Рассмотрим прямоугольные треугольники DК'B и DК'D. В обоих треугольниках DК' является общим катетом.
Из треугольника DBB' (где BB' - перпендикуляр к плоскости α):
\(DB = 10\sqrt{3}\) см, угол DBB' = 60°. Тогда:
\(BB' = DB \cdot sin(60°) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\) см.
\(B'D = DB \cdot cos(60°) = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}\) см.
Теперь рассмотрим треугольник DKK':
Угол DKK' = 45°. Тогда \(KK' = DK'\).
Из треугольника DKK' имеем:
\(DK = \frac{KK'}{sin(45°)}\)
\(DK' = KK'\)
Тогда получается:
\(DK = \frac{DK'}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = DK' \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = DK' \cdot \sqrt{2}\)
Применим теорему Пифагора для треугольника DKK':
\(DK^2 = DK'^2 + KK'^2\)
\((DK'\sqrt{2})^2 = DK'^2 + 15^2\)
\(2DK'^2 = DK'^2 + 225\)
\(DK'^2 = 225\)
\(DK' = 15\) см.
Ответ: 15 см
Отлично, ты справился с первой задачей! Идем дальше!
№2
Нам нужно найти расстояние от точки А до ребра двугранного угла, если известно расстояние от точки А до другой грани и величина угла.
Пусть АВ – перпендикуляр к одной из граней, АС – перпендикуляр к ребру, и АВ = 8 см. Угол между плоскостями равен 45°. Тогда угол между АС и АВ также будет равен 45°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
\(sin(45°) = \frac{AB}{AC}\)
\(AC = \frac{AB}{sin(45°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\) см.
Ответ: \(8\sqrt{2}\) см
Прекрасно! Ты уверенно двигаешься вперед.
№3
Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку O пересечения диагоналей ромба проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки K до вершин ромба, если OK = 8 см.
Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Пусть AC = x, тогда AO = x/2.
\(BO = BD/2 = 6/2 = 3\) см.
Рассмотрим треугольник AOB:
\(AO^2 + BO^2 = AB^2\)
\((\frac{x}{2})^2 + 3^2 = 5^2\)
\(\frac{x^2}{4} + 9 = 25\)
\(\frac{x^2}{4} = 16\)
\(x^2 = 64\)
\(x = 8\) см.
Итак, \(AO = \frac{8}{2} = 4\) см.
Теперь рассмотрим треугольник AOK:
\(AK^2 = AO^2 + OK^2\)
\(AK^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\)
\(AK = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) см.
\(BK^2 = BO^2 + OK^2\)
\(BK^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73\)
\(BK = \sqrt{73}\) см.
\(CK = AK = 4\sqrt{5}\) см.
\(DK = BK = \sqrt{73}\) см.
Ответ: \(AK = CK = 4\sqrt{5}\) см, \(BK = DK = \sqrt{73}\) см
Отлично, ты отлично справляешься! Не останавливайся!
№4
Отрезок AB длиной \(5\sqrt{5}\) см лежит между двумя перпендикулярными плоскостями. Расстояния от концов A и B до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см соответственно. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.
Пусть A и B - концы отрезка, AA' и BB' - перпендикуляры, опущенные на линию пересечения плоскостей.
AA' = 5 см, BB' = 8 см.
Нужно найти A'B'.
\(AB = 5\sqrt{5}\) см.
Проведем AC || A'B'. Тогда треугольник ABC - прямоугольный, где угол ACB = 90°.
\(BC = BB' - AA' = 8 - 5 = 3\) см.
Применим теорему Пифагора для треугольника ABC:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\((5\sqrt{5})^2 = AC^2 + 3^2\)
\(125 = AC^2 + 9\)
\(AC^2 = 116\)
\(AC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\) см.
Так как AC = A'B', то \(A'B' = 2\sqrt{29}\) см.
Ответ: \(2\sqrt{29}\) см
Ты просто молодец! Осталось совсем немного.
№5
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна 26 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Пусть стороны основания равны x, а высота равна 2x.
Диагональ основания (квадрата) равна \(x\sqrt{2}\).
Диагональ параллелепипеда равна 26 см.
Применим теорему Пифагора для диагонали параллелепипеда:
\(d^2 = (x\sqrt{2})^2 + (2x)^2\)
\(26^2 = 2x^2 + 4x^2\)
\(676 = 6x^2\)
\(x^2 = \frac{676}{6} = \frac{338}{3}\)
\(x = \sqrt{\frac{338}{3}} = \frac{\sqrt{1014}}{3} \approx 10.6\)
a) Измерения параллелепипеда: \(x = \frac{\sqrt{1014}}{3}\) см, \(x = \frac{\sqrt{1014}}{3}\) см, \(2x = \frac{2\sqrt{1014}}{3}\) см.
б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания:
Пусть угол между диагональю и плоскостью основания равен α.
Тогда \(sin(α) = \frac{2x}{26} = \frac{x}{13} = \frac{\sqrt{1014}}{3 \cdot 13} = \frac{\sqrt{1014}}{39} \approx 0.817\).
Ответ: a) \(x = \frac{\sqrt{1014}}{3}\) см, \(x = \frac{\sqrt{1014}}{3}\) см, \(2x = \frac{2\sqrt{1014}}{3}\) см; б) \(\frac{\sqrt{1014}}{39}\)
Поздравляю! Ты успешно решил все задачи контрольной работы! Я уверена, что у тебя все получится и в дальнейшем!
