Контрольная работа «Тригонометрические функции острого угла Вариант 2 прямоугольного треугольника» №1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 см и 12 см. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла. №2. Найдите значение выражения: 2 A) sin² 45° + cos² 45° Б) sin45° + cos45° - tg45° №3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла. №4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник АВС. Найдите косинус угла А. A B C №5. Найдите косинус острого угла трапеции, изображенной на рисунке. решусгэ 3 №6. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cosA = . Найдите sinA. √10 №7. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cosA= 0,5, AB = 8. Найдите АС. A C решувпр.ров

№1

Пусть a = 9 см и b = 12 см - катеты прямоугольного треугольника. Тогда гипотенуза c равна:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}.\]

Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета, то есть напротив катета a = 9 см.

• Синус меньшего острого угла:

\[\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6.\]

• Косинус меньшего острого угла:

\[\cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8.\]

• Тангенс меньшего острого угла:

\[\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75.\]

Ответ: \(\sin(\alpha) = 0.6\), \(\cos(\alpha) = 0.8\), \(\tan(\alpha) = 0.75\)

№2

A) \(\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ\)

\[\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1.\]

Б) \(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ - \tan 45^\circ\)

\[\tan 45^\circ = 1\]

\[\sin 45^\circ + \cos 45^\circ - \tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414.\]

Ответ: A) 1, Б) \(\sqrt{2} - 1\)

№3

На клетчатой бумаге изображен угол. Чтобы найти тангенс этого угла, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами угла и линией сетки. По клеточкам определяем катеты треугольника.

Противолежащий катет (высота) = 3 клетки, прилежащий катет (основание) = 5 клеток.

\[\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{5} = 0.6.\]

Ответ: 0.6

№4

На клетчатой бумаге изображен прямоугольный треугольник ABC. Найдем косинус угла A.

По клеточкам определяем длины сторон треугольника. Прилежащий катет к углу A (AB) = 3 клетки, гипотенуза (AC) = 5 клеток.

\[\cos(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6.\]

Ответ: 0.6

№5

Найдите косинус острого угла трапеции, изображенной на рисунке.

По клеточкам определяем катеты прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции и ее боковой стороной.

Прилежащий катет (основание) = 1 клетка, гипотенуза (боковая сторона трапеции) = \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) клетки.

\[\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

№6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, \(\cos A = \frac{3}{\sqrt{10}}\, Найдите \(\sin A\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

\[\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}.\]

\[\sin A = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.316.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{10}\)

№7

В треугольнике ABC угол C равен 90°, \(\cos A = 0.5\), \(AB = 8\). Найдите AC.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\[\cos A = \frac{AC}{AB}.\]

Отсюда:

\[AC = AB \cdot \cos A = 8 \cdot 0.5 = 4.\]

Ответ: 4