Контрольная работа у кл по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов». ВАРИАНТ 1 1 Вычислить скалярное произведение векторов а и Б, если: [a] = 5, |Б| = 6, аль = 30° 2 Найти угол между векторами а и Б, если: [a] = 2, |b| 3 Найти а Б, если а{5; -1}, Б{-2;3} 4 B ∆ABC: LA = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найти АС. 5 В треугольнике две стороны равны 7 и 8, угол между этими сторонами 120°. Найдите третью сторону и площадь этого треугольника. 6 В ДАВС: A(1;2) B(-3; 4) C(5;-2). Найдите cos LA. 7 Докажите, что АВ 1 ВС, если: A(0;1), B(2;3), C(-1;6)

Привет! Давай разберем эти задания по геометрии и алгебре. Уверена, у тебя всё получится!

1. Вычисление скалярного произведения векторов

Для вычисления скалярного произведения векторов \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\] используется формула:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha),\]

где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — длины векторов, а \(\alpha\) — угол между ними.

В нашем случае:

• \[|\vec{a}| = 5\]
• \[|\vec{b}| = 6\]
• \[\alpha = 30^\circ\]

Подставляем значения в формулу:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}.\]

Ответ: \(15\sqrt{3}\)

2. Нахождение угла между векторами

Дано:

• \[|\vec{a}| = 2\]
• \[|\vec{b}| = 7\]
• \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 7\sqrt{3}\]

Используем ту же формулу для скалярного произведения:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha).\]

Выражаем \(\cos(\alpha)\):

\[\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{7\sqrt{3}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), это \(30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\)

3. Найти скалярное произведение векторов через координаты

Даны векторы \(\vec{a} = \{5, -1\}\) и \(\vec{b} = \{-2, 3\}\).

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y.\]

Подставляем координаты:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = -10 - 3 = -13.\]

Ответ: \[-13\]

4. Найти сторону AC треугольника ABC

Используем теорему синусов:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}.\]

Дано:

• \[\angle A = 45^\circ\]
• \[\angle B = 60^\circ\]
• \[BC = 3\sqrt{2}\]

Выражаем AC:

\[AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}.\]

Ответ: \(3\sqrt{3}\)

5. Найти третью сторону и площадь треугольника

Две стороны треугольника равны 7 и 8, угол между ними 120°.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны (c):

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma),\]

где \(a = 7\), \(b = 8\), \(\gamma = 120^\circ\).

\[c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 49 + 64 - 112 \cdot (-\frac{1}{2}) = 49 + 64 + 56 = 169.\]

Тогда \(c = \sqrt{169} = 13\).

Теперь найдем площадь треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ) = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}.\]

Ответ: Третья сторона равна 13, площадь равна \(14\sqrt{3}\).

6. Найти \(\cos \angle A\) в треугольнике ABC

Даны координаты вершин: A(1;2), B(-3;4), C(5;-2).

Сначала найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[\vec{AB} = B - A = (-3 - 1, 4 - 2) = (-4, 2),\] \[\vec{AC} = C - A = (5 - 1, -2 - 2) = (4, -4).\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot 4 + 2 \cdot (-4) = -16 - 8 = -24.\]

Найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.\]

Теперь найдем косинус угла A:

\[\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{-24}{2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{-24}{8\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}.\]

Ответ: \(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\)

7. Доказать, что \(\vec{AB} \perp \vec{BC}\)

Даны точки: A(0;1), B(2;3), C(-1;6).

Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\):

\[\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 3 - 1) = (2, 2),\] \[\vec{BC} = C - B = (-1 - 2, 6 - 3) = (-3, 3).\]

Чтобы доказать перпендикулярность, нужно показать, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

\[\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 = -6 + 6 = 0.\]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны.

Ответ: (ответы выше)

Ты отлично поработал! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться. Удачи в учебе!