Контрольная работа Углы и расстояния Вариант 1 1. Прямая СХ проходит через вершину прямоугольника XYZK и перпендикулярна его сторонам ХҮ и ХК. Докажите перпендикулярность плоскостей: СХУ и XYZ. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, АВ=16 см, ∠САВ=45°. 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3: 3: 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 4. Сторона квадрата MNKL равна с. Через сторону ML проведена плоскость а на расстоянии от точки Ν. а) Найдите расстояние от точки № до плоскости а. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, F∈α.

Ответ: Решение в процессе подготовки.

1. Доказательство перпендикулярности плоскостей

Для доказательства перпендикулярности плоскостей CXY и XYZ нужно показать, что прямая, перпендикулярная одной плоскости, лежит в другой плоскости или параллельна ей.

• Прямая CX перпендикулярна плоскости XYZ (так как она перпендикулярна XY и XK).
• Нужно доказать, что CX лежит в плоскости CXY или параллельна ей.

2. Нахождение CD

Используем теорему косинусов для треугольника ABC, чтобы найти BC:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle CAB)\]

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = AB = 16 см и ∠CAB = 45°:

\[BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot cos(45°)\] \[BC^2 = 256 + 256 - 512 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[BC^2 = 512 - 256\sqrt{2}\] \[BC = \sqrt{512 - 256\sqrt{2}} \approx 12.4 \text{ см}\]

Теперь рассмотрим треугольник ABD, где AD = 10 см и AB = 16 см. Треугольники ABD и ABC перпендикулярны, поэтому ABD - прямоугольный. Тогда CD можно найти по теореме Пифагора:

\[CD^2 = AD^2 + AC^2\] \[CD^2 = 10^2 + 12.4^2 = 100 + 153.76 = 253.76\] \[CD = \sqrt{253.76} \approx 15.9 \text{ см}\]

3. Параллелепипед

Пусть стороны основания равны 3x, а высота 6x. Тогда диагональ параллелепипеда равна:

\[d = \sqrt{(3x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2} = 3\sqrt{6}\] \[9x^2 + 9x^2 + 36x^2 = 54x^2\] \[\sqrt{54x^2} = 3\sqrt{6}\] \[x\sqrt{54} = 3\sqrt{6}\] \[x = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{54}} = \frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = 1\]

Значит, стороны основания равны 3 см, а высота 6 см.

Диагональ основания: \(d_{осн} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\)

Тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: \(tan(\alpha) = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)

Синус угла: \(sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

4. Квадрат MNKL

a) Расстояние от точки N до плоскости α равно расстоянию от точки до прямой ML, так как плоскость α проходит через ML. Поскольку MNKL - квадрат, это расстояние равно стороне квадрата, то есть c.

б) Линейный угол двугранного угла NMLF - это угол между перпендикуляром, опущенным из точки N на прямую ML (пусть это точка E), и прямой EF, где F лежит на плоскости α. Так как NE перпендикулярна ML, а плоскость α перпендикулярна MNKL, то угол NEF прямой.

Ответы:

• 1. Доказательство требует дополнительных построений и обоснований.
• 2. CD ≈ 15.9 см
• 3. Размеры: 3 см, 3 см, 6 см; Синус угла: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)
• 4. Расстояние: c; Угол: прямой

Ответ: Решение в процессе подготовки.