Контрольная работа №3 Вариант 1 1. Дано: АВ || CD. OD=15см, ОВ=9см, CD=25см. а) Доказать: AO:OC=BO:OD б) Найти АВ 2 Найдите отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ=8см, ВС=12см, АС=16см, NK=20см. КМ=10 all, MN = 15 all 3 Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит его гипотенузу АВ на части AD=16см и BD=9см. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD найдите высоту CD

Вариант 1

1. Дано:

• AB || CD
• OD = 15 см
• OB = 9 см
• CD = 25 см

а) Доказать: AO:OC = BO:OD

б) Найти: AB

Решение:

а) Рассмотрим треугольники AOB и COD. Угол AOB = углу COD (как вертикальные). Угол OAB = углу OCD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, треугольник AOB подобен треугольнику COD по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AO/OC = BO/OD

б) Из подобия треугольников AOB и COD следует: AB/CD = BO/OD

AB / 25 = 9 / 15

AB = (9 * 25) / 15 = 15 см

Ответ: AB = 15 см

2. Дано:

• AB = 8 см
• BC = 12 см
• AC = 16 см
• NK = 20 см
• KM = 10 см (опечатка, должно быть KM = 15 см)
• MN = 15 см (опечатка, должно быть MN = 10 см)

Найти: Отношение площадей треугольников ABC и KMN

Решение:

Проверим, подобны ли треугольники ABC и KMN. Для этого найдем отношения соответствующих сторон:

• AB/MN = 8/10 = 4/5
• BC/NK = 12/20 = 3/5
• AC/MK = 16/15

Треугольники не подобны, так как отношения сторон не равны.

Предположим, что в условии была опечатка и KM = 15 см, MN = 10 см

Тогда:

• AB/MN = 8/10 = 4/5
• BC/NK = 12/15 = 4/5
• AC/MK = 16/20 = 4/5

Треугольники ABC и KMN подобны по трем сторонам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = 4/5.

Отношение площадей S(ABC) / S(KMN) = k^2 = (4/5)^2 = 16/25 = 0.64

Ответ: 0.64 (при условии, что KM = 15 см, MN = 10 см)

3. Дано:

• CD - высота прямоугольного треугольника ABC
• AD = 16 см
• BD = 9 см

Доказать: Треугольник ACD подобен треугольнику CBD

Найти: Высоту CD

Решение:

Рассмотрим треугольники ACD и CBD. Угол ADC = углу BDC = 90°. Угол ACD = 90° - углу A, угол CBD = 90° - углу C. Так как угол A = углу C (в прямоугольном треугольнике), то угол ACD = углу CBD.

Следовательно, треугольник ACD подобен треугольнику CBD по двум углам.

Из подобия треугольников следует: AD/CD = CD/BD

CD^2 = AD * BD = 16 * 9 = 144

CD = √144 = 12 см

Ответ: CD = 12 см

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные стороны пропорциональны, а площади соотносятся как квадраты сторон.

Уровень Эксперт: Помни, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов — кубу.