КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 Вариант 1 1. Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что PE || QF. 2. Отрезок DM — биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE=68°.

Разбираемся:

Решение:

1. Задание 1:
   Докажем, что PE || QF.
   Т.к. M - середина EF и PQ, то EM = MF и PM = MQ.
   Рассмотрим треугольники PME и QMF:
   \( EM = MF \) (по условию)
   \( PM = MQ \) (по условию)
   ∠PME = ∠QMF (как вертикальные)
   Следовательно, треугольники PME и QMF равны по двум сторонам и углу между ними.
   Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠EPM = ∠MQF. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых PE и QF и секущей PQ. Значит, PE || QF (по признаку параллельности прямых).
2. Задание 2:
   Найдем углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°.
   Т.к. DM - биссектриса ∠CDE, то ∠CDM = ∠MDE = ∠CDE / 2 = 68° / 2 = 34°.
   Т.к. MN || CD, то ∠DMN = ∠CDM (как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и CD и секущей DM).
   Значит, ∠DMN = 34°.
   ∠D = ∠CDE = 68°.
   В треугольнике DMN:
   ∠DNM = 180° - ∠DMN - ∠D = 180° - 34° - 68° = 78°.

Ответ: ∠DMN = 34°, ∠MDN = 68°, ∠DNM = 78°.