КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант А2 1 В треугольнике АВС ∠A = 120°, ∠C = 30°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектрисы данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• Треугольник АВС
• \[ \angle A = 120^{\circ} \]
• \[ \angle C = 30^{\circ} \]

Найти:

1. Доказать, что треугольник АВС — равнобедренный, и указать его боковые стороны.
2. Найти углы, которые биссектриса СК образует со стороной АВ.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника:

   Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, угол B можно найти так:

   \[ \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C \]

   \[ \angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} \]

   \[ \angle B = 30^{\circ} \]

   Доказательство, что треугольник равнобедренный:

   Мы видим, что \[ \angle B = \angle C = 30^{\circ} \]. В треугольнике углы при основании равны. Это значит, что треугольник АВС — равнобедренный.

   Боковые стороны:

   В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Углы B и C равны, значит, противолежащие им стороны AB и AC равны. Эти стороны и являются боковыми.

   Ответ на а): Треугольник АВС равнобедренный, его боковые стороны — AB и AC.

2. Найдем углы, образованные биссектрисой СК:

   СК — биссектриса угла C. Это значит, что она делит угол C пополам:

   \[ \angle SCK = \angle KCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ} \]

   Теперь рассмотрим треугольник СВК. Мы знаем, что \[ \angle B = 30^{\circ} \] и \[ \angle KCB = 15^{\circ} \]. Найдем угол СКВ:

   \[ \angle CKB = 180^{\circ} - \angle B - \angle KCB \]

   \[ \angle CKB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 15^{\circ} \]

   \[ \angle CKB = 135^{\circ} \]

   Угол АКС — смежный с углом СКВ, поэтому:

   \[ \angle AKC = 180^{\circ} - \angle CKB \]

   \[ \angle AKC = 180^{\circ} - 135^{\circ} \]

   \[ \angle AKC = 45^{\circ} \]

   Углы, которые биссектриса СК образует со стороной АВ:

   Биссектриса СК пересекает сторону AB в точке K. Углы, которые образует биссектриса со стороной AB, это углы AKC и BKC. Мы уже нашли их:

   • \[ \angle AKC = 45^{\circ} \]
   • \[ \angle BKC = 135^{\circ} \]

   Ответ на б): Биссектриса СК образует со стороной АВ углы 45° и 135°.

Общий ответ:

а) Треугольник АВС равнобедренный, боковые стороны — AB и AC.

б) Биссектриса СК образует со стороной АВ углы 45° и 135°.