КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 ВАРИАНТ 3 «Квадратные уравнения. Квадратный трехчлен.» 1. Определи, имеет ли корни уравнение 2x² + 4х-5 = 0 и если имеет, то сколько. 2. Реши уравнения: a) 8x²-32x = 0; б)3x²+10x-8= 0; 3. Если возможно, разложи на множители многочлен: а²-4а-7г 4. В зоопарке необходимо заменить ограждение прямоугольного вольера для павлинов, площадь которого составляет 270м². Сколько метров забора понадобится, если одна из сторон вольера на 3м больше другой. 5. Сократи дробь: 3x²+15x/x²-3x-40 6. Реши уравнение: х²-11х2-80 = 0

1. Определим, имеет ли корни уравнение $$2x^2 + 4x - 5 = 0$$ и если имеет, то сколько.

Для определения наличия корней квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$, где a = 2, b = 4, c = -5.

• $$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56$$

Так как дискриминант больше нуля ($$D > 0$$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: Уравнение имеет два корня.

2. Решим уравнения:

a) $$8x^2 - 32x = 0$$

• Вынесем общий множитель за скобки: $$8x(x - 4) = 0$$
• Тогда либо $$8x = 0$$, либо $$(x - 4) = 0$$
• Решаем первое уравнение: $$x = 0$$
• Решаем второе уравнение: $$x = 4$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 4$$

б) $$3x^2 + 10x - 8 = 0$$

• Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$$
• Найдем корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 14}{6}$$
• $$x_1 = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
• $$x_2 = \frac{-10 - 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$

Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}$$, $$x_2 = -4$$

3. Если возможно, разложим на множители многочлен: $$a^2 - 4a - 77$$

Найдем корни квадратного трехчлена $$a^2 - 4a - 77 = 0$$

• Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$$
• Найдем корни уравнения: $$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 18}{2}$$
• $$a_1 = \frac{4 + 18}{2} = \frac{22}{2} = 11$$
• $$a_2 = \frac{4 - 18}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Разложение на множители имеет вид: $$(a - a_1)(a - a_2) = (a - 11)(a + 7)$$

Ответ: $$(a - 11)(a + 7)$$

4. В зоопарке необходимо заменить ограждение прямоугольного вольера для павлинов, площадь которого составляет 270 м². Сколько метров забора понадобится, если одна из сторон вольера на 3 м больше другой.

Пусть одна сторона равна x, тогда другая сторона равна x + 3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, то есть $$x(x + 3) = 270$$. Решим это уравнение.

• $$x^2 + 3x - 270 = 0$$
• Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$$
• Найдем корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 33}{2}$$
• $$x_1 = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$$
• $$x_2 = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$ (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Значит, одна сторона равна 15 м, а другая равна 15 + 3 = 18 м. Периметр прямоугольника равен $$2(a + b) = 2(15 + 18) = 2 \cdot 33 = 66$$ м.

Ответ: 66 метров.

5. Сократим дробь: $$\frac{3x^2 + 15x}{x^2 - 3x - 40}$$

• Разложим числитель на множители: $$3x^2 + 15x = 3x(x + 5)$$
• Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения $$x^2 - 3x - 40 = 0$$:
• $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$
• $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 13}{2}$$
• $$x_1 = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
• $$x_2 = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
• Знаменатель: $$(x - 8)(x + 5)$$
• Сократим дробь: $$\frac{3x(x + 5)}{(x - 8)(x + 5)} = \frac{3x}{x - 8}$$

Ответ: $$\frac{3x}{x - 8}$$

6. Решим уравнение: $$x^4 - 11x^2 - 80 = 0$$

• Пусть $$y = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 11y - 80 = 0$$
• Вычислим дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441$$
• Найдем корни уравнения: $$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 21}{2}$$
• $$y_1 = \frac{11 + 21}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
• $$y_2 = \frac{11 - 21}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ (не подходит, так как $$x^2$$ не может быть отрицательным)
• Тогда $$x^2 = 16$$, следовательно, $$x = \pm 4$$

Ответ: $$x_1 = 4$$, $$x_2 = -4$$